Mundarija: Kirish: I. Bob. Interval arifmetika asoslari

2.6 teorema. Agar qandaydir Y matritsa uchun
||e - Ys|| 1,
Tengsizli o‘rinli bo‘lsa, u xolda s S, f F qanday bo‘lishidan qat’iy nazar sistema yagona yechimga ega bo‘ladi va bu yechim ixtiyoriy k 0 uchun (2.20) yordamida topilgan U(k) intervalli vektorni o‘z ichiga oladi
U(0) sifatida ,masalan,
.
komponentlari bilan berilgan vektorni olish mumkin.
2.4. Maple dasturiy tizimida interval hisoblashlar

Maple dasturiy tizimi ham o’z imkonyatlariga ko’ra Mathematica tizimi bilan bemalol bahslashadigan tizimdir

Maple dasturlash tizimi vositalaridan foydalangan holda dastlab 1993 yilda nemis tadqiqotchilari I.Geulig va W.Kraamerlar tomonidan INTPAK deb nomlanadigan dasturlash majmuasi yaratildi
1999 yilda A.E.Connell va R.M.Corless tomonidan esa INTPAKX deb nomlangan ammo imkonyatlari INTPAKdan ancha ustun bo’lgan yangi dasturlash majmuasi taklif etildi. Bu dasturlar majmuasida foydalanuvchi uchun ancha qulay shakilda interval miqdorlarni tasvirlash ular ustida arfmetik amallar bajarish interval argumintli elimentar funksiyalrning qiymatlarini hisoblash kompleks intirvallar ustida amallar bajarish interval funksiyalar grafklarini yasash hamda Nyuton usulining interval varianti yordamida turli tinglamalarni interval yichimlarini topish imkonyatlari mavjud
Ammo bu dasturlarni imkonyatlarini ko’rsatuvchi ilmiy maqolalar mavjud bo’lsada ulardan foydalanish tijorat shartnomasi asosida bo’lganligi sababli biz quyida shu dasturlarga muqobil tarzda yaratilgan INTAN dasturlar majmuasining imkonyatlari haqida so’z yuritamiz
Intirval miqdor INTANda odtdagi yozuvda yoziladi yani:

[1,2]

False
Bu yirda xning interval tipda emasligining asosiy sababi intervalning chegaraviy nuqtalari odatda o’nli kasr ko’rinishida ifodalanishi yani ular 1. 0 va 2. 0 ko’rinishida yozilishi shartdir
Interval arifmetik amallar Maple dasturiy tizimining xususiyatidan kelib chiqqan xolda mos ravishda &+,&-,&*,&/ belgilari orqali ifodalanishi kerak quyida tipik interval xisoblashlarni bajarish usullari keltirilgan

x:= [1.,2.]
true
>construct(1/3)
[.3333333333,.3333333333]
>[1.,2]&+3&*0
[0,0]
>construct(1,rounded);
[.9999999999,1.00000000001]
>y:= construct (1,infinity, rounded);
Y:=[0.99999999,∞]
>type (y, interval);
True
>width(x); width(y);
1.
∞
>midpoint(x);
[1.49999999,1.50000001]
>[1.,2.]&+(3&*0);
[.9999999999,2.0000000001]
>[1.,2.]& intpower 3;
[-1.000000001,8.0000000001]

>&sqr(&cosh(1))&-&sqr(&sinh(1));

[.9999999919,1.0000000008]
Intervallarning birlashmasi (umumlashmasi) kesishmasi INTAN da quydagicha
amalga oshiriladi
X:=[1.,3.]; y:=[2.,infinity];z=[4.,5.];
X:=[1.,3.]
Y:=[2.,∞]
Z:=[4.,5.]
>x&uneon y;
[1.,∞]
X&uneonz;
[1.,3],[4.,5.]
Quyida funksiyaning x o’zgaruvchi [0,0.5] intervalda
o’zgargandagi qiymaylar sohasini topish uchun tuzilgan algaritmni keltirib o’tamiz

1. 
   >x:=’x’;
   

x:=x

2. 
   >f:=x^3-x^2-x+1;
   

f:=x³-x²-x+1

3. 
   >F:=inapply(f,x);
   

Inapply funksiyasi f ni tabiiy interval kengaytmasini qurish uchun

foydalaniladi

4. 
   F ning birinchi tartibli hosilasini tabiiy interval kengaytmasi quriladi
   

>dF:=inapply(diff(f,x),x):

5. 
   f ni [0,0.5] dagi qiymatlar to’plamini hisoblaymiz
   

>X:=[0,0.5];
X:=[0,.5]
>mid_X:=midpoint(X);
mid_X:=[0.2499999999,1.250000002]
>r_i:=F(X);
r_i:=[0.2499999994,1.125000003]
>r_m:=F(mid_X)&-(dF(X)&*(x&-mid_x));
r_m:=[0.2031249977,1.203125003]
bunda interval kengaytmaning o’rta qiymatli ko’rinishidan foydalanildi.

6. 
   f ning hosilasining interval kengaytmasini hisoblaymiz
   

>dF([0,0.5]);
[-2.000000003,-.249999985]
Bu nateja F funksiyaning monoton kamayuvchiligidan dalolat beradi

7. 
   funksiyaning aniq qiymatlar to’plamiga yaqin natejani quydagicha hisoblash mumkin
   

>r_e:=construct(F(X[2])[1],F(X)[1])[2]);
r_e:=[.3749999993,1.000000003]
bunda F(X[2]) interval funksiyaning x[2]=0.5 nuqtadadagi qiymati bo’lsa, F(X[2])[1] esa F(X[2]) chap chegarasi ekanligini anglatadi aslida bu funksiyaning aniq qiymatlar to’plami [0.375,1] interval bilan chegaralangandir. Tuzilgan algaritmning natejasi esa [.3749999993,1.000000003]

ga teng. Yuqoridagidan ko’rinibdiki, olingan natija qanoatlanarlidir.

Bundan tashqari, INTAN dasturlar majmuasida kompleks intervallar ustida arifmetik amallarni bajarish turli xaraktirdagi grafiklarini yasash mumkin