Mundarija. Kirish I. bob. Bessel funksiyalari. Telegraf tenglamasi

I. Bessel funksiyalari.Telegraf tenglamasi.
1.1. Bessel funksiyalari haqida ma’lumot.
1. Birinchi turdagi besel funksiyalari. Ushbu
(1.1.1)

tenglamaBessel tenglamasi deyiladi, bunda v o’zgarmas son (1.1.1) tenglamaning indeksi deb ataladi. (1.1.1) tenglamani
(
gipergeometrik tenglama yoki Gauss tenglamasi deb ataladi. Bu yerda a,b,c – uchta ixtiyoriy parametr bo’lib, haqiqiy yoki kompleks qiymatlarni qabul qiladi. ) gipergeometrik tenglamadan keltirib chiqarish qiyin emas. Buning uchun

almashtirish bajarsak,

tenglama hosil bo’ladi. va da

Tenglamaga ega bo’lamiz. Bu tenglamada almashtirish bajarib, desak,

tenglama kelib chiqadi. Bu tenglama esa (1.1.1) Bessel tenglamasining o’zginasidir. bo’lsin. Keying hisoblashlarni soddalashtirish maqsadida (1.1.1)tenglamada

almashtirish bajaramiz. U holda funksiyani aniqlash uchun
(1.1.2)
Tenglamaga ega bo’lamiz. Bu tenglamaning yechimini


darajali qator ko’rinishida izlaymiz. Bundan



Hosil bo’lgan qatorlarni (1.1.2) tenglamaga qo’yib, quyidagi tenglikni hosil qilamiz:

Aniqmas koeffitsiyentlar usuliga asosan, ning barcha darajalari oldidagi koeffitsiyentlarni nolga tenglaymiz:


Bundan

(1.1.3)va(1.1.4) ga asosan





Shunday qilib,(1.1.2) tenglaaning yechimi ushbu

Qator bilan ifodalanadi.Bunda - o’zgarmasni ixtiyoriy tanlab olish mumkin. Dalamber belgisiga asosan, (1.1.5) qatorni barcha qiymatlarida yaqinlashuvchi bo’lishini tekshirib ko’rish qiyin emas.
Darajali qatorni hadlab differensiallash (yaqinlashish oralig’I ichida) hamma vaqt qonuniy bo’lgani uchun (1.1.5) qator bilan ifodalangan haqiqatdan ham (1.1.2) tenglamaning yehimi bo’ladi.
Odatda o’zgarmas

Deb tanlab olinadi.Ushbu

…

Tengliklarni e’tiborga olsak, quyidagi ko’rinishda yoziladi:


(1.1.1)tenglamaning yechimi funksiyadan iboratdir. Bu funksiyani orqali belgilab olmiz. Demak,


funksiya birinchi turdagi indeksli yoki tarybli Bessel funksiylari deyiladi.
Ayrim adabiyotlarda bu funksiyalar slindirik funksiyalar deb ataladi.
funksiya (1.1.1) Bessel tenglamasining yechimlaridan biridir. Xususiy bo’lgan holda

da esa

Umuman butun musbat v larda

(1.1.7)va(1.1.8) formulalardan ko’rinadiki, yoki ixtiyoriy butun va juft lar uchun funksiya juft funksiyadan iboratdir.