Mundarij a kirish I bob. Matematik fizika tenglamalari va ular uchun qo‘yilgan masalalarni analitik usulda yechish 1

Umumiy qo’yilgan Koshi masalasi
orqali o’zgruvchilar tekisligida chegara bo’laklari silliq Jordan chizig’idan iborat bo’lgan sohani belgilaymiz.
Faraz qilaylik, funksiya sohada
(1.15)
tenglamaning regulyar yechimi bo’lib, da birinchi tartibli uzluksiz hosilalarga ega bo’lsin.
Ushbu

Ayniyatni soha bo’yicha integrallab, Gauss-Ostragradskiy formulasini qo’llaymiz:

Faraz qilaylik, L-yopiq bo’lmagan silliq Jordan chizig’i bo’lib, quyidagi ikki shartni qanoatlaantirsin:

1. 
   (1) tenglamaning xarakteristikalar oilasiga tegishli bo’lgan har bir to’g’ri chiziq L bilan bitta nuqtada kesishsin;
   
2. 
   L egri chiziqqa o’tkazilgan urinmaning yo’nalishi bilan ustma-ust tushmasin.
   

Ixtiyoriy nuqtadan chiqadigan
xarakteristikalar L egri chiziq bilan A va B nuqtalarda kesishsin (3-chizma).
(1.16) formulani AB egri chiziq, CA va CB xarakteristikalar bilan chegaralangan sohada qo’llab, ushbu tenglikni hosil qilamiz.

va da, mos ravishda v a b o’lgani uchun avvalgi tenglik quyidagi ko’rinishda yoziladi:

Bundan darhol

Tenglikka ega bo’lamiz.
Agar (1.15) tenglamaning yechimi

Shartlarni qanoatlantisa, bunda berilgan mos ravishda ikki va bir marta uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalar, esa da berilgan yo’nalish bo’lib, ning urinmasi biln ustma-ust tushmaydi, u holda noma’lum funksiyalarni


Tengliklarni aniqlab olamiz, bu yerda chiziq yoyining uzunligi.
Ma’lum miqdorlarni (1.17) tenglikning o’ng tomoniga qo’yib, (1.15) tenglamaning (1.18) shartlarni noatlantiruvchi yechimini hosil qilamiz. Yuqorida yuritilgan mulohazalardan shu narsa kelib chiqadiki, Koshi masalasi keltirilgan qo’yilishda birdan-bir yechimga egadir.
Odatda (1.15), (1.18) masala tor tebrnish tenglamasi uchun umumiy qo’yilgan Koshi masalasi deyiladi.