Mundarij a kirish I bob. Matematik fizika tenglamalari va ular uchun qo‘yilgan masalalarni analitik usulda yechish 1

Bitta singulyar koeffitsientga ega bo‘lgan giperbolik tipdagi differensial tenglama uchun qo‘yilgan boshlang‘ich masalani analitik usulda yechish

Ushbu
,

,

to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan
sohada (2-chizma)
, (1.40)
tenglamaning
(1.41)
boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish talab etilgan bo‘lsin.
sohada (1.40) tenglamaning koeffitsientlari orasida munosabat o‘rinli bo‘lganligi uchun, bu tenglamani shu sohada giperbolik tipga tegishli deyiladi.
va chiziqlar (1.40) tenglamaning xarakteristikalari deyiladi. to‘g‘ri chiziq esa (1.40) tenglama uchun singulyarlik chizig‘i hisoblanadi.
Odatda Koshi masalasining qo‘yilishida qaralayotgan sohaning bir qismida qidirilayotgan funksiyaning qiymati va shu qismda qidirilayotgan funksiyaning hosilasi berilib, tenglamaning shu sohada qanoatlantiruvchi funksiyani topishdan iborat bo‘lar edi.
Biz qaralayotgan masalada esa (1.41) shartlardan ikkinchisida funksiya hosilasi oldida vazn funksiyasi qatnashganligi hisobiga, bunday masala ko‘rinishi o‘zgartirilgan Koshi masalasi deb ham yuritiladi [5].
Masala yechilishiga o‘tamiz. Avvalo (1.40)-(1.41) masalani analitik usulda yechamiz. Buning uchun (1.40) tenglamaning xarakteristikalarini topishimizga to‘g‘ri keladi, ya’ni (1.6) formuladan foydalanamiz:
.
Bu yerda bo‘lganligi uchun, tenglama quyidagi ko‘rinishni oladi:
yoki .
Bundan ko‘rinadiki, xarakteristikalar oilasi paydo bo‘ladi. Mos holda bularni va orqali belgilaymiz, ya’ni va . Aynan shular (1.40) tenglamaning xarakteristikalari deyiladi.
Kanonik ko‘rinishga o‘tish formulalaridan foydalangan holda, quyidagilarni hisoblab
,

bo’yicha olingan xususiy hosilalarni buyicha olingan hosilalarga almashtiramiz
;
;
.
Bu hisob-kitoblarni olib borib, (1.40) tenglamaga qo‘yamiz. U holda (1.40) tenglama quyidagi ko‘rinishdagi Eyler-Darbu tenglamasiga keladi [6]:
. (1.42)
(1.42) tenglamaning umumiy yechimi mavjud [6] va u quyidagi ko‘rinishda:
,
bu erda uzluksiz funksiyalar. Eski va koordinatalar sistemasiga qaytib, (1.40) tenglamaning umumiy yechimini hosil qilamiz:
, (1.43)
bu yerda .
Ko‘rish qiyin emaski, funksiyani (1.43) dan (1.41) ning birinchi shartidan foydalangan holda topsa bo‘ladi, ya’ni
. (1.44)
Oxirgi ifodadagi integral, Beta funksiyaning [7] integral ko‘rinishi deb ataladi. Uning Gamma funksiyalar [7] orqali ifodasi quyidagicha:
.
Oxirgi tenglikdan foydalanib, (1.44) dan funksiyaning ko‘rinishini yozamiz:
. (1.45)
Endi (1.43) dan buyicha hosila olamiz

va (1.41) shartlarning ikkinchisdan foydalanamiz

Bu yerdan
(1.46)
ekanligini topamiz.
Topilgan (1.45) va (1.46) larni (1.43) ga olib borib qo‘yib, ko‘rinishi o‘zgartirilgan Koshi masalasining yechimini hosil qilamiz:

, (1.47)
bu yerda , .
Bevosita tekshirish yo‘li bilan ishonch hosil qilish mumkinki, va sinflardan va funksiyada va da dan oshmaydigan tartibda maxsuslikka intilishi mumkin bo‘lsa, u holda funksiya (1.47) formula bilan aniqlanadi va haqiqatan ham sohada (1.40) tenglama uchun qo‘yilgan ko‘rinishi o‘zgartirilgan Koshi masalasi yechimi bo‘ladi.
Endi esa yuqoridagi nazariyamizni amaliyotda qo‘llash jarayonini ko‘rib chiqamiz.
(1.40) tenglamaning
(1.48)
boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini toping.
Ma’lumki (1.40) tenglama uchun qo‘yilgan ko‘rinishi o‘zgartirilgan Koshi masalasining yechimi (1.47) formula bilan berilgan edi. SHu formulaning va funksiyalari o‘rniga mos ravishda va larni qo‘yib, kerakli integrallarni hisoblab, (1.40), (1.48) masala yechimining ko‘rinishini topamiz.

. (1.49)
(1.49) tenglikdagi integrallarni hisoblaymiz va natijani chiqaramiz.



Oxirgi ifoda esa {(1.40), (1.48)} masalaning yechimini beradi.

yechimni tekshirib ko‘raylik:
1) buyicha olingan ikkinchi tartibli xususiy hosila nolga teng, ya’ni . Endi buyicha birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarni hisoblaymiz:

.
Bularni (1.40) tenglamaga qo‘yamiz,
.
Bulardan xulosa shuki, topilgan yechim berilgan tenglamani qanoatlantiradi.
2) da ; bo‘lib, bu esa berilgan boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiradi.
Demak, ushbu fikrlardan xulosa chiqarish mumkinki, funksiya {(1.40), (1.48)} masalaning yechimi ekan.