Mundarij a kirish I bob. Matematik fizika tenglamalari va ular uchun qo‘yilgan masalalarni analitik usulda yechish 1

II bob. Matematik fizika tenglamalari va ular uchun qo‘yilgan masalalarni sonli yechish


To‘rlar usuli
Matematikada tipik matematik masalalarning echimlarini etarlicha aniqlikda hisoblash imkonini beruvchi usullarni yaratishga va shu maqsadda hozirgi zamon hisoblash vositalaridan foydalanish yo‘llarini ishlab chiqishga bag‘ishlangan soha hisoblash matematikasi deyiladi.
Hisoblash matematikasi qamragan masalalar turlicha va juda ham ko‘p. Tabiiyki, bu masalalarni echish usullari ham xilma-xildir, shunga qarmay bu usullarning umumiy g‘oyasi haqida so‘z yuritish mumkin [Isroilov M. Hisoblash metodlari. –Toshkent: O‘qituvchi. 1988.–324 b.].
Hisoblash matematikasida uchraydigan ko‘p masalalarni

shaklida yozish mumkin, bu erda va berilgan va funksional fazolarning elementlari bo‘lib, -operator yoki xususiy holda funksionaldir. Agar operator va element haqida ma’lumot berilgan bo‘lib, ni topish lozim bo‘lsa, bunday masala to‘g‘ri masala deyiladi. Aksincha va haqida ma’lumot berilgan bo‘lib, ni topish lozim bo‘lsa, bunday masala teskari masala deyiladi. Odatda teskari masalani yechish ancha murakkabdir. Bu masalalar har doim ham aniq yechilavermaydi. Bunday hollarda hisoblash matematikasiga murojaat qilinadi.
Ba’zan masalani aniq yechish ham mumkin, lekin klassik matematika metodlari bilan kerakli sonli qiymat olishda juda ko‘p hisoblashlar talab qilinadi. Shuning uchun ham hisoblash matematikasi zimmasiga konkret masalalarni yechish uchun oqilona va tejamkor usullar ishlab chiqish yuklanadi.
Differensial tenglamalarning aniq yechimini topish juda kamdan-kam hollardagina mumkin bo‘ladi. Amaliyotda uchraydigan ko‘pdan-ko‘p masalalarning aniq yechimini topishning iloji bo‘lmaydi. Shuning uchun differensial tenglamalarni yechishda taqribiy usullar muhim rol o‘ynaydi. Yechimlar qay tarzda ifodalanishiga qarab, bunday usullar guruhlarga bo‘linadilar:

1. 
   Analitik usullar. Bunda taqribiy hisoblashda yechim formula ko‘rinishida chiqadi.
   
2. 
   Grafik usullar. Bu hollarda topilgan yechimlar grafik ko‘rinishlarda ifodalanadi.
   
3. 
   Raqamli usullar. Bunda yechim sonli jadval ko‘rinishida olinadi.
   

Hisoblash matematikasida mazkur uch guruhga kiruvchi bir qancha usullar ishlab chiqilgan. Bu usullarning bir-biriga nisbatan muayan kamchiliklari va ustunliklari mavjud. Muhandislik masalalalrini yechishda shularni hisobga olgan holda u yoki bu usulni tanlab olish lozim bo‘ladi.
XX asr o‘rtalarida elektron hisoblash mashinalarining kashf etilishi matematikaning imkoniyatlarini va ta’sir doirasini juda kengaytirib yubordi. Bugunda sekundiga bir necha millionlab amallar bajara oladigan yangi mashinalar yaratilgan va keng ishlab chiqarishga tadbiq qilinmoqda. Programmalashtirishning avtomatlashtirishga, hisoblash mashinalarining yangi turlarini ishlab chiqarishga, yangidan-yangi matematik kompleksni boshqaruvchi mashinalar qurishga alohida e’tibor berilmoqda. Ayniqsa, elektron hisoblash mashinalari yordamida matematikani mexanikaga, fizikaga, texnikaga, shuningdek ximiya, biologiya, meditsina, ekonomika, sotsiologiya, lingvistika kabi fanlarga tadbiq qilishda keng imkoniyatlar ochildi. Qisqa qilib aytganda, hozirgi vaqt biror fan yoki ishlab chiqarish sohasi yo‘qki, unda matematik qonuniyatlarga asoslangan elektron hisoblash mashinasi ishlatilmasin.
Masalani EHMda yechishning o‘ziga xos tomonlari bor. Har bir hisoblash ishi puxta rejalashtirishni talab qiladi, ya’ni hisoblash sxemasini shunday tuzish kerakki, u oraliqdagi va oxirgi natijalarni nazorat qilish uchun imkon bersin. Aks holda turli xatolarga yo‘l qo‘yilishi mumkin. Hozirgi EHMlar sekundiga milliardlab amallarni bajara oladi va bu hisoblashlar avtomatik ravishda, hisoblovchining ishtirokisiz bajariladi. SHuning uchun ham hisoblovchi hisoblash mashinasining barcha ishini shunday rejalashtirishi kerakki, masalani echish jarayonida uchraydigan har bir maxsus hollarga mashina e’tibor beradigan bo‘lsin. U kerakli algoritmning bajarilishini ta’minlashi, masala echishning effektiv va korrekt dasturini tuzishi kerak bo‘ladi.
Shu maqsadda chekli ayirmalar yoki to‘rlar usulini keltirmoqchimiz.
Chekli ayirmalar usuli xususiy hosilali tenglamalarning sonli echimini topishda eng qulay usullardan biridir.
Bu usulning asosida hosilarni chekli ayirmalar nisbati bilan almashtirish qoidasi yotadi.
A ytaylik, xOy koordinatalar tekisligida chegarasi G chiziq bilan chegaralangan yopiq soha berilgan bo‘lsin. sohani kesib o‘tuvchi o‘qlarga parallel bo‘lgan to‘g‘ri chiziqlar oilasini quramiz:

Bu to‘g‘ri chiziqlarning kesishish nuqtalarni tugunlar deb ataladi. Hosil bo‘lgan to‘rda ikki tugunni qo‘shni tugun deb ataladi. Agar ulardan biri ikinchisidan OX yoki OY koordinata o‘qlari yo‘nalishida va masofada joylashgan bo‘lsa sohaga tegishli bo‘lgan va sohaning chegarasi G dan kichik masofada turgan tugunlarni ajratamiz.
Sohaning biror tuguni va unga qo‘shni bo‘lgan to‘rtta tugun sohaga tegishli bo‘lsa, bu tugunni ichki tugun deb ataladi. (A tugun). Ajratilgandan qolganlari chegara tugunlari deb ataladi (B, C tugunlar).
Noma’lum funksiyaning to‘rning 5 yoki 9 tugunli sxemalarining

tugunlaridagi qiymatini orqali belgilaymiz. Har bir ichki nuqtadagi xususiy hosilalarni ayirmalar nisbati bilan quyidagicha almashtiramiz:
(2.1)
Chegaraviy nuqtalarda esa aniqligi kamroq bo‘lgan quyidagi formular bilan almashtiramiz:
(2.2)
Xuddi shuningdek, ikkinchi tartibli xususiy hosilarni quyidagicha almashtiramiz:
(2.3)
Yuqorida ketirilgan almashtirishlar xususiy hosilasi tenglamalarni o‘rniga chekli ayrimali sistemasini echishga olib keladi.
Yuqorida ko‘rsatilgan sohada quyidagi Dirixle masalani ko‘raylik.
Qulaylik uchun

tenglamadan G chiziq bilan chegaralangan bog‘lamli sohada aniqlangan elliptik tipdagi tenglamani quyidagi ko‘rinishda yozamiz.
, (2.4)
bu erda a,c,d,e,g lar x va larning funksiyalari bo‘lib a >0, b >0 va g ≤0 bo‘lsin. tugunda tenglamadagi funksiya va koeffitsientlarni , , , , , , kabi belgilaymiz.
Bu (2.4) tenglama uchun quyidagi Dirixle masalasining chegaraviy sharti

qo‘yilgan bo‘lsin.
Besh nuqtali tugunlar sxemasi bo‘yicha (2.1), (2.3) formulalar asosida chekli ayirmalar yordamida (2.4) tenglamani quyidagicha yozamiz:
+ + +
- (2.5)
Shuningdek G chegara(chiziq) funksiyasi asosida chegara tugunlari yoki (0< <1) uchun quyidagi munosabatlarni yozamiz:

yoki
.
Agar tenglama tarkibida ishtirok etsa uni to‘qqiz nuqtali tugunlar sxemasi bo‘yicha chekli ayirmalar bilan quyidagicha almashtirib (2.5) tenglamaga qo‘shamiz:
= .
Chekli ayirmalar yordamida (2.4) tenglamani, tugunga nisbatan hosil bo‘ladigan tenglamalar sistemasini quyidagicha yozamiz:
(2.6)
, , ,
,
Farazimizga asosan lar silliq funksiyalar bo‘lsa, etarlicha kichik uchun

bo‘lganda quyidagi tenglikka ega bo‘lamiz:
_.
Hosil bo‘lgan chiziqli tenglamalar sistema (2.6) si uchun yuqoridagi shartlar bajarilganda bu sohaning ichki tugunlarida sistemani echimini topishda iterasiya usulini qo‘llash uchun uni quyidagi ko‘rinishga keltiramiz.
.
Shuningdek chegaraviy tugunlar uchun

Berilgan boshlang‘ich echim asosida aniq echimga yaqinlashish jarayonini oddiy iterasiya usulida quyidagicha hisoblaymiz:

, =0,1,2,…
Yuqoridagi shartlar asosida bu jarayonni aniq echimga yaqinlashish sharti quyidagicha tanlanadi:
.