|
Ikkinchi tur egri chiziqli integral tushunchasi va uni hisoblash.
Tekislikda (sodda) uzunlikka ega
bo’lgan
egri chiziqni qaraylik (48chizma)
Bu egri chiziqning biror
bo’laklashini olamiz. Natijada
egri chiziq
bo’lakchalarga ajraladi.
ning
va
koordinatalar o’qlardagi proektsiyalari mos ravishda
va
bo’lsin:
Aytaylik,
egri chiziqda
funktsiya berilgan bo’lsin. Har bir
da ixtiyoriy
nuqtalarni olib, so’ng bu nuqtadagi funktsiyaning qiymati
ni
va
larga
ko’paytirib, quyidagi
yig’indilarni hosil qilamiz. Bu yig’indilar
funktsiyaga bog’liq bo’lishi bilan birga
egri
chiziqni bo’laklashga hamda har bir
da olingan
nuqtalarga bog’liq bo’ladi.
,
)
,
(
B
A
ds
y
x
m
B
A
B
A
ds
y
x
y
m
y
ds
y
x
x
m
x
)
,
(
1
,
)
,
(
1
0
0
B
A
Ox
Oy
B
A
y
B
A
x
xds
S
yds
S
,
B
A
y
B
A
x
ds
x
J
ds
y
J
2
2
,
B
A
)
,
(
,...,
,
,
0
2
1
0
B
A
A
A
A
A
A
A
P
n
n
B
A
)
1
,...
2
,
1
,
0
(
1
n
k
A
A
k
k
1
k
k
A
A
OX
OY
k
x
k
y
).
1
,...
2
,
1
,
0
(
,
1
1
n
k
y
A
A
пр
x
A
A
пр
k
k
k
oy
k
k
k
ox
B
A
)
,
(
y
x
f
1
k
k
A
A
)
,
(
k
k
)
,
(
k
k
f
k
x
k
y
1
0
2
1
0
1
)
,
(
,
)
,
(
n
k
k
k
k
n
k
k
k
k
y
f
x
f
)
,
(
y
x
f
B
A
1
k
k
A
A
)
,
(
k
k
1-ta’rif.
Agar
olinganda ham shunday
son topilsaki,
egri chiiqning diametri
bo’lgan har qanday
bo’laklash uchun tuzilgan
yig’indi ixtiyoriy
nuqtalarda
tengsizlik bajarilsa,
funktsiya
egri chiziq bo’yicha integrallanuvchi,
son (
son) esa
funktsiyaning ikkinchi tur egri chiziqli integrali deyiladi. U
kabi belgilanadi. Demak,
Keltirilgan ta’rifdan quyidagi kelib chiqadi:
1)
funktsiyaning
egri chiziq bo’yicha ikkinchi tur egri chiziqli integrali ikkita
bo’ladi:
.
Aytaylik,
egri chizig’ida
va
funktsiyalar berilgan bo’lib,
lar esa ularning ikkinchi tur egri chiziqli integrallari bo’lsin. Ushbu
yig’indi ikkinchi tur egri chiziqli integralning umumiy ko’rinishi deyiladi va
kabi belgilanadi:
.
2)
funktsiyaning ikkinchi tur egri chiziqli integrallari
egri chiziqning yo’nalishiga
bog’liq bo’lib,
,
bo’ladi.
3) Agar
egri chiziq
koordinatalar o’qiga (
kordinatalar o’qiga) perpendikulyar
bo’lgan to’g’ri chiziq kesmadan iborat bo’lsa
bo’ladi.
Aytaylik,
sodda yopiq egri chiziq bo’lsin. Bu holda
va
nuqtalar ustmaust tushadi.
0
0
B
A
p
P
)
(
2
1
1
)
,
(
k
k
k
k
A
A
)
(
2
2
1
1
J
J
)
,
(
y
x
f
B
A
1
J
2
J
)
,
(
y
x
f
)
)
,
(
(
,
)
,
(
B
A
B
A
dy
y
x
f
dx
y
x
f
).
)
,
(
)
,
(
(
,
)
,
(
)
,
(
1
0
0
1
0
0
lim
lim
n
k
k
k
k
B
A
n
k
k
k
k
B
A
y
f
dy
y
x
f
x
f
dx
y
x
f
p
p
)
,
(
y
x
f
B
A
B
A
B
A
dy
y
x
f
dx
y
x
f
)
,
(
,
)
,
(
B
A
)
,
(
y
x
P
)
,
(
y
x
Q
B
A
B
A
dy
y
x
Q
dx
y
x
P
)
,
(
,
)
,
(
B
A
B
A
dy
y
x
Q
dx
y
x
P
)
,
(
)
,
(
dy
y
x
Q
dx
y
x
P
B
A
)
,
(
)
,
(
B
A
B
A
B
A
dy
y
x
Q
dx
y
x
P
dy
y
x
Q
dx
y
x
P
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
y
x
f
B
A
B
A
A
B
dx
y
x
f
dx
y
x
f
)
,
(
)
,
(
B
A
A
B
dy
y
x
f
dy
y
x
f
)
,
(
)
,
(
B
A
OX
OY
0
)
,
(
0
)
,
(
B
A
A
B
dy
y
x
f
dy
y
x
f
B
A
K
A
B
YOpiq egri chiziq
da chizmada ko’rsatilganidek ikki yo’nalish bo’lib, ulardan biri musbat
ikkinchisi esa manfiy bo’ladi.
Agar kuzatuvchi
chiziq bo’yicha xarakatlanganda
bilan chegaralangan to’plam har doim
chap tomonda qolsa bunday yo’nalish musbat bo’ladi, aks holda esa manfiy bo’ladi.
SHu
egri chiziqda
funktsiya berilgan bo’lsin.
chiziqda ixtiyoriy ikki
va
nuqtalarni olaylik. Bu nuqtalar
egri chiziqni ikkita
va
egri chiziqlarga ajratadi.
Faraz qilaylik, quyidagi
integrallari mavjud bo’lsin. Ushbu
yig’indi,
funktsiyaning
yopiq egri chiziq bo’yicha ikkinchi tur egri chiziqli integrali deyiladi.
Uni
yoki
kabi belgilanadi. Bu holda
yopiq chiziqning musbat yo’nalishi olinadi. Demak,
.
Xuddi shunga o’xshash
hamda umumiy holda
integrallar ta’riflanadi.
Aytaylik,
fazodagi sodda uzunlikka ega bo’lgan egri chiziq bo’lib, bu egri chiziqda
funktsiya berilgan bo’lsin. YUqoridagidek
funktsiyani ikkinchi tur egri chiziqli
integrallar ta’riflanadi va ular quyidagicha belgilanadi:
.
Faraz qilaylik,
egri chiziq ushbu
(1)
K
K
K
K
)
,
(
y
x
f
K
A
B
K
B
n
A
A
m
B
A
m
B
B
n
A
dx
y
x
f
dx
y
x
f
)
,
(
,
)
,
(
A
m
B
B
n
A
dx
y
x
f
dx
y
x
f
)
,
(
)
,
(
)
,
(
y
x
f
K
K
dx
y
x
f
)
,
(
K
dx
y
x
f
)
,
(
K
A
m
B
B
n
A
K
dx
y
x
f
dx
y
x
f
dx
y
x
f
)
,
(
)
,
(
)
,
(
K
dy
y
x
f
)
,
(
dy
y
x
Q
dx
y
x
P
K
)
,
(
)
,
(
B
A
)
,
,
(
z
y
x
f
)
,
,
(
z
y
x
f
B
A
B
A
B
A
dz
z
y
x
f
dy
z
y
x
f
dx
z
y
x
f
)
,
,
(
,
)
,
,
(
,
)
,
,
(
dz
z
y
x
R
dy
z
y
x
Q
dx
z
y
x
P
B
A
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
B
A
)
(
)
(
,
)
(
t
t
y
y
t
x
x
tenglamalar sitemasi bilan aniqlangan bo’lib,
funktsiya
da uzluksiz,
hosilaga ega,
funktsiya esa
da uzluksiz hamda
bo’lsin. parametr
dan
ga qarab o’zgarganda
egri chiziqning
nuqtasi
dan
ga qarab
ni chizaborsin.
Do'stlaringiz bilan baham: |
