Agar trigonometrik ifodali aniqmas integral
xdx
x
R
sin
)
(cos
ko‘rinishda bo‘lsa, unda
t=
cos
x
almashtirma maqsadga muvofiqdir.
Chunki bu holda
dt
= –sin
xdx
bo‘lib, berilgan integral
to‘g‘ridan-to‘g‘ri ratsional kasrli integralga keladi:
dt
t
R
xdx
x
R
)
(
sin
)
(cos
.
dx
x
R
)
(
tg
ko‘rinishdagi trigonometrik ifodali aniqmas integrallar
t
=tg
x
,
х
=аrctg
x
,
2
1
t
dt
dx
almashtirma yordamida darhol ratsional funksiyaning integraliga keltiriladi:
dt
t
R
t
dt
t
R
dx
tgx
R
)
(
1
)
(
)
(
1
2
.
dx
x
x
R
)
cos
,
(sin
2
2
ko‘rinishdagi, ya’ni integral ostidagi ifodada sin
x
va cos
x
funksiyalar faqat juft darajalarda qatnashgan integrallarni qaraymiz.
Bu holda tg
x
=
t
almashtirmadan foydalanish mumkin. Bunda,
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
sin
,
1
1
1
1
t
dt
dx
t
t
x
tg
x
tg
x
t
x
tg
x
,
cos
bo‘lgani uchun, qaralayotgan integral ostidagi ifoda ratsional kasrga quyidagicha almashinadi:
dt
t
R
t
dt
t
t
t
R
dx
x
x
R
)
(
1
)
1
1
,
1
(
)
cos
,
(sin
1
2
2
2
2
2
2
.
Bu paragrafni quyidagi integrallarni ko‘rish bilan yakunlaymiz:
)
(
cos
cos
,
sin
sin
,
cos
sin
n
m
nxdx
mx
nxdx
mx
nxdx
mx
.
Bu integrallar quyidagi trigonometrik formulalar orqali yoyish usulida ikkita oson
hisoblanadigan integrallarga keltiriladi:
]
)
sin(
)
[sin(
2
1
cos
sin
x
n
m
x
n
m
nx
mx
,
]
)
cos(
)
[cos(
2
1
sin
sin
x
n
m
x
n
m
nx
mx
,
]
)
cos(
)
[cos(
2
1
cos
cos
x
n
m
x
n
m
nx
mx
.
XULOSA
Oldin ixtiyoriy ratsional funksiyadan olingan integralni hisoblash mumkinligi va natija
elementar funksiyalar orqali ifodalanishini ko‘rib o‘tgan edik. Bu
masala irratsional ifodali
integrallar uchun qaralganda vaziyat butunlay o‘zgaradi. Birinchidan barcha irratsional
funksiyalarni ratsional funksiya singari umumiy ko‘rinishda yoza olmaymiz. Ikkinchidan ma’lum
bir ko‘rinishdagi irratsional funksiyalarning integrallari, unda qatnashuvchi
parametrlarning
qiymatlariga qarab, ayrim holda elementar funksiyalar orqali ifodalansa, boshqa hollarda esa
maxsus funksiyalar ko‘rinishida bo‘ladi. Bunga misol sifatida binomial integrallarni ko‘rsatish
mumkin. Chebishev tomonidan bu integral faqat uch holda elementar
funksiyalarda ifodalanishi
isbotlangan. Ammo ayrim ko‘rinishdagi irratsional ifodali integrallarni ma’lum bir almashtirmalar
yordamida ratsional funksiyadan olingan integrallarga keltirish orqali hisoblash mumkin. Kvadrat
uchhad qatnashgan ayrim irratsional ifodalar Eyler almashtirmalari
orqali ratsional funksiyaga
keltiriladi va hisoblanadi.
Trigonometrik funksiyalar ishtirok etgan integrallar ham doimo
elementar funksiyalarda
ifodalanmasligini oldin (§2 ga qarang) Frenel integrali va integral sinus misollarida ta’kidlab o‘tgan
edik. Ammo trigonometrik funksiyalar ratsional ko‘rinishda qatnashgan bir qator integrallarni
universal almashtirma yordamida ratsional funksiyaga keltirish orqali elementar funksiyalarda
ifodalash mumkin.
Do'stlaringiz bilan baham: