Microsoft Word Олий матем 2-cem. Ma'Ruza маътинлари docx

noma’lum 
koeffitsiyentlar usuli
deb ataluvchi usulda hal qilinishi mumkin. Bu usulning mohiyatini quyida 
misol orqali tushuntiramiz.
Shunday qilib, ratsional kasrning 

dx
x
R
)
(
integralini hisoblash uch bosqichda amalga 
oshiriladi. 
I.
 
Dastlab 
R
(
x
) kasr maxrajning nollari orqali uning (6) yoyilmasidagi eng sodda ratsional 
kasrlarning turlari va sonlari 2-5 teoremalar yordamida aniqlanadi. 
II.
 
Yoyilmadagi eng sodda ratsional kasrlarning suratlaridagi 
A
k
va 
B
k
qiymatlari noma’lum 
koeffitsiyentlar usulida topiladi. 
III.
 
R
(
x
) kasrning eng sodda ratsional kasrlardagi (6) chiziqli yoyilmasi to‘liq topilgach,

dx
x
R
)
(
integral bu yoyilma bo‘yicha integralning chiziqlilik xossalari (§1, (3) formula) va eng 
sodda ratsional kasrlarning integrallaridan foydalanilib hisoblanadi. 
Yuqorida aytilganlarni




dx
x
x
x
I
2
5
1
 
integralni hisoblashga tatbiq etamiz. 
I.
Dastlab maxrajning nollarini aniqlaymiz: 
.
0
)
1
)(
1
(
0
)
1
(
0
2
2
3
2
2
5










x
x
x
x
x
x
x
x
Bu yerdan ko‘rinadiki, maxraj uchun 
x
1
=0 ikki karrali, 
x
2
=1 oddiy haqiqiy ildizlar bo‘ladi. 
Bundan tashqari uchinchi ko‘paytuvchidan maxrajning bir juft oddiy qo‘shma kompleks ildizi ham 
mavjudligini ko‘ramiz. Shu sababli integral ostidagi ratsional kasr quyidagi ko‘rinishda eng sodda 
ratsional kasrlarga yoyiladi: 
1
1
1
2
4
3
2
2
1
2
5










x
x
B
x
A
x
A
x
A
x
A
x
x
x
. 

---

II.
Bu yoyilmadagi 
A
1
, 
A
2
, 
A
3
, 
A
4
va 
B
sonlarni noma’lum koeffitsiyentlar usulida topamiz. 
Buning uchun yoyilmaning o‘ng tomonidagi kasrlarni umumiy maxrajga keltiramiz. So‘ngra hosil 
bo‘lgan kasrning suratini yoyilmaning chap tomonidagi kasrning suratiga tenglashtiramiz. Natijada 
quyidagi tenglikka kelamiz: 








)
1
)(
1
(
)
1
)(
1
(
2
2
2
1
x
x
x
A
x
x
x
x
A
1
)
1
(
)
(
)
1
(
2
4
2
2
3







x
x
x
B
x
A
x
x
x
A
. 
Bu tenglikdagi qo‘shiluvchilarni 
x
darajalari bo‘yicha guruhlaymiz: 
1
)
(
)
(
)
(
2
1
2
3
3
4
3
2
4
4
3
1












x
A
x
A
x
B
A
x
B
A
A
A
x
A
A
A
. 
Bu tenglik 
x
o‘zgaruvchining barcha qiymatlarida o‘rinli, ya’ni ayniyat bo‘lishi kerak. Bu 
esa 
x
o‘zgaruvchining mos darajalari oldidagi koeffitsiyentlarni teng bo‘lishini taqozo etadi. Bundan 
A
1
, 
A
2
, 
A
3
, 
A
4
va 
B 
noma’lumlar uchun quyidagi 5 noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasiga ega 
bo‘lamiz: 





















1
1
0
0
0
2
1
3
4
3
2
4
3
1
A
A
B
A
B
A
A
A
A
A
A
Bu sistemani yechib, 
A
1
=–1 ,
A
2
=–1 ,
A
3
=2/3 ,
A
4
=1/3 , B=2/3 
ekanligini topamiz. Demak, integral ostidagi ratsional kasr 
)
1
(
3
2
)
1
(
3
2
1
1
1
2
2
2
5











x
x
x
x
x
x
x
x
x
ko‘rinishda eng sodda ratsional kasrlar orqali ifodalanadi. Shu bilan ratsional kasrli integralni 
hisoblashning I –II bosqichlari yakunlandi. Endi III bosqichga, ya’ni bevosita integralni hisoblashga 
o‘tamiz. 
III.





















dx
x
x
x
x
x
x
dx
x
x
x
I
)
1
(
3
2
)
1
(
3
2
1
1
1
2
2
2
5








dx
x
dx
x
dx
x
)
1
(
3
2
1
1
2
J
x
x
x
dx
x
x
x
3
1
1
ln
3
2
1
ln
)
1
(
3
2
2











. 
XULOSA 
Har qanday aniqmas integral elementar funksiyalar orqali ifodalanishi shart emas ekanligi oldin 
ta’kidlab o‘tilgan edi. Shu sababli elementar funksiyalarda ifodalanadigan integrallar sinfini topish 
masalasi paydo bo‘ladi. Bu masalaning xususiy bir javobi sifatida ratsional funksiyalardan olingan 
integrallarni ko‘rsatish mumkin. Bunda dastlab I-IV turdagi eng sodda ratsional funksiyalarni 
integrallash usuli ko‘rsatiladi. So‘ngra, ixtiyoriy ratsional funksiyani ularning algebraik yig‘indisi 
kabi yozish mumkinligidan foydalanib, umumiy holda ratsional funksiyadan olingan integrallarni 
hisoblash amalga oshiriladi. Bu integrallar logarifmik, arctg(
ax+b
) ko‘rinishdagi teskari 
trigonometrik funksiyalar hamda ratsional kasrlar, ya’ni elementar funksiyalar orqali ifodalanadi. 
Tayanch iboralar 
 
* Ko‘phad * Ratsional kasr (funksiya) * Noto‘g‘ri ratsional kasr * To‘g‘ri ratsional kasr * I tur 
eng sodda ratsional kasr * II tur eng sodda ratsional kasr 
* III tur eng sodda ratsional kasr * IV tur eng sodda ratsional kasr * Mavhum birlik * 
Kompleks son * Qo‘shma kompleks sonlar * Ratsional kasr yoyilmasi 
* Noma’lum koeffitsiyentlar usuli
Takrorlash uchun savollar 
 
1.
Qanday ko‘rinishdagi funksiyalar ko‘phadlar deb ataladi? 
2.
Ko‘phad darajasi qanday aniqlanadi? 
3.
Ratsional kasr deb nimaga aytiladi? 
4.
Qachon ratsional kasr noto‘g‘ri kasr deyiladi? 
5.
Qaysi shartda ratsional kasr to‘g‘ri kasr bo‘ladi? 

---

6.
Noto‘g‘ri ratsional kasrni qanday ko‘rinishda yozish mumkin? 
7.
I tur eng sodda ratsional kasr qanday ko‘rinishda bo‘ladi? 
8.
II tur eng sodda ratsional kasr qanday aniqlanadi? 
9.
III tur eng sodda ratsional kasr qanday ko‘rinishda bo‘ladi? 
10.
IV tur eng sodda ratsional kasr deb nimaga aytiladi? 
11.
I tur eng sodda ratsional kasrning integrali qanday funksiyadan iborat? 
12.
II tur eng sodda ratsional kasrning integrali qanday ifodalanadi? 
13.
III tur eng sodda ratsional kasrning integrali qanday hisoblanadi? 
2.
IV tur eng sodda ratsional kasr qanday integrallamadi? 
3.
Eng sodda ratsional kasrlarning integrallari qanday funksiyalar orqali 
ifodalanadi? 
4.
Har qanday ratsional kasrni qanday ko‘rinishda yozish mumkin? 
5.
Ratsional kasrning eng sodda ratsional kasrlar orqali yoyilmasining
ko‘rinishi nimaga asosan aniqlanadi? 
6.
Ratsional kasrning eng sodda ratsional kasrlar orqali yoyilmasidagi
koeffitsiyentlar qanday topiladi? 
7.
Noma’lum koeffitsiyentlar usulining mohiyati nimadan iborat? 
8.
Ratsional kasrning integralini hisoblash qanday bosqichlardan iborat?