Microsoft Word Олий матем 2-cem. Ma'Ruza маътинлари docx

Eng sodda kasrlarni integrallash. Ratsional 
kasrlarni sodda kasrlarga ajratish. Ratsional 
funksiyalarni integrallash algoritmi 
 
RATSIONAL KASRLAR VA ULARNI INTEGRALLASH 
 

Ratsional funksiyalar. 

Eng sodda ratsional funksiyalar va ularni integrallash. 

Kompleks sonlar haqida tushunchalar. 

Ratsional funksiyalarni integrallash. 
 
Oldingi paragrafda har qanday elementar funksiya integrali yana elementar funksiyadan 
iborat bo‘lishi shart emas ekanligini misollarda ko‘rsatgan edik. Shu sababli qanday elementar 
funksiyalarning integrallari elementar funksiyalar orqali ifodalanishini, ya’ni elementar 
funksiyalarda integrallanuvchi funksiyalar sinflarini aniqlash masalasi paydo bo‘ladi. Ushbu 
paragrafda bunday funksiyalarning muhim bir sinfini qisqacha ko‘rib o‘tamiz. 
3.1.
 
Ratsional funksiyalar.
 
Ma’lumki , 
P
n
(
x
)=
a
n
x
n
+ 
a
n
–1
x
n
-1
+ 
a
 n
–2
x
n
-2
+… 
a
1
x
+ 
a
0
(
a
n
≠
0) (1) 
ko‘rinishdagi funksiya 
 ko‘phad
deyiladi. Bunda 
a
n
, 
a
n
–1
, 
a
n
–2
, …, 
a
1, 
a
0
o‘zgarmas sonlar bo‘lib, 
ular ko‘phadning 
koeffitsiy
е
ntlari
, 
n
esa ko‘phadning 
darajasi 
deb ataladi. 
Masalan, 
P
3
(
x
)=5
x
3
–
x
2
+2
x
+4 – III darajali, 
P
2
(
x
)=3
x
2
–5
x
+2 – II darajali,
P
1
(
x
)=8
x
+3 – I 
darajali ko‘phadlardir. 
Izoh: 
Har qanday o‘zgarmas funksiyani 
P
0
(
x
)=
a
0
– 0-darajali ko‘phad deb qarash mumkin.
1-TA’RIF:
Ikkita ko‘phad nisbatidan iborat funksiya 
ratsional kasr yoki ratsional 
funksiya
deyiladi. 
Odatda ratsional kasr 
R
(
x
) kabi belgilanadi va, ta’rifga asosan,
0
1
1
1
0
1
1
1
...
...
)
(
)
(
)
(
a
x
a
x
a
x
a
b
x
b
х
b
х
b
x
P
x
Q
x
R
n
n
n
n
m
m
m
m
n
m














(2)
ko‘rinishda bo‘ladi.
Masalan, 
1
3
5
3
9
5
6
,
1
3
5
3
4
,
7
2
5
3
2
2
3
2
2
2












x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
ratsional kasrlardir. 
Izoh: 
Har qanday 
Q
m
(
x
) ko‘phadni maxraji 
P
0
(
x
)=1 bo‘lgan ratsional kasr kabi qarash 
mumkin va shu nuqtai nazardan ko‘phadlar ba’zan butun funksiyalar deb ataladi. 
Ma’lumki, 
m
/
n
oddiy (sonli) kasrda maxraj suratdan katta, ya’ni 
n
>
m 
bo‘lsa, bu kasr 
to‘g‘ri,
n
≤
m
holda esa noto‘g‘ri kasr deyiladi. Bu tushuncha ratsional kasrlar uchun quyidagicha 
kiritiladi.
2-TA’RIF:
Agar (2) ratsional kasrda maxrajning darajasi 
n
>
m
bo‘lsa, u 
to‘g‘ri
,
n
≤
m
holda 
esa 
noto‘g‘ri
ratsional kasr
dеb aytiladi. 
Masalan,
7
3
2
1
5
2
3
)
(
2
4
6
2
3
4








x
x
x
x
x
x
x
x
R
to‘g‘ri, 

---

1
4
2
5
3
2
)
(
,
1
6
5
4
3
2
)
(
2
3
3
5
2
2
3
2
3
1














x
x
x
x
x
x
x
R
x
x
x
x
x
x
x
R
noto‘g‘ri ratsional kasrlar bo‘ladi. 
Har qanday noto‘g‘ri 
m
/
n
(
m>n
) oddiy kasrni 
n
r
Z
k
n
r
k
n
m




,
,
ko‘rinishda, ya’ni butun son va to‘g‘ri kasr yig‘indisi kabi ifodalash mumkin. Xuddi shunday tasdiq 
noto‘g‘ri ratsional kasrlar uchun ham o‘rinli bo‘ladi, ya’ni ular uchun ushbu tenglikni hosil qilish 
mumkin: 
n
r
x
P
x
G
x
L
x
P
x
Q
x
R
n
r
n
m
n
m





,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
. (3)
Bunda 
L
m–n
(
x
) va 
G
r
(
x
) ko‘rsatilgan tartibli ko‘phadlar bo‘ladi.
Demak, har doim noto‘g‘ri ratsional kasrni ko‘phad (butun funksiya) va to‘g‘ri ratsional kasr 
yig‘indisi kabi ifodalash mumkin. 
Masalan,
2
1
3
2
)
(
2
3
4





x
x
x
x
x
R
noto‘g‘ri ratsional kasr suratini maxrajiga ustun usulida bo‘lib, uni 
2
19
19
9
5
2
2
1
3
2
)
(
2
2
2
3
4













х
х
х
х
х
х
х
х
х
x
R
ko‘rinishga keltira olamiz. 
Har qanday ko‘phad darajali funksiyalarning algebraik yig‘indisi sifatida oson 
integrallamadi va uning integrali yana ko‘phaddan iborat, ya’ni elementar funksiya bo‘ladi. Demak, 
(3) tenglikka asosan, har qanday ratsional kasrni integrallash masalasi to‘g‘ri ratsional kasrni 
integrallash masalasiga olib keladi. Shu sababli kelgusida faqat to‘g‘ri ratsional kasrlarni 
integrallash bilan shug‘ullanamiz. 
3.2.
 
Eng sodda ratsional funksiyalar va ularni integrallash. Q
uyidagi ko‘rinishdagi 
to‘g‘ri ratsional kasrlarni qaraymiz: 
I. 
a
x
A
x
R
I


)
(
, II.
k
II
a
x
A
x
R
)
(
)
(


, 
III.
q
рх
х
В
Ах
x
R
III




2
)
(
, IV. 
k
IV
q
рх
x
B
Ax
x
R
)
(
)
(
2




. 
Bunda 
A
, 
B
, 
a
, 
p
, 
q
–haqiqiy sonlar, 
k
=2,3,4, .... , va
x
2
+
px+q
kvadrat uchhad haqiqiy 
ildizlarga ega emas, ya’ni uning diskriminanti 
D
=
p
2 
– 4
q
<0 deb olinadi.
3-TA’RIF:
Yuqorida kiritilgan 
R
I
(
x
) –
R
IV
(
x
) mos ravishda I–IV tur 
eng sodda 
ratsional kasrlar
deb ataladi. 
Eng sodda ratsional kasrlarni integrallash masalasini qaraymiz. 
I va II turdagi oddiy kasrlarni integrallash jadval integrallariga oson keltiriladi: 











C
a
x
A
a
x
a
x
d
A
a
x
А
dx
dx
x
R
I
ln
)
(
)
(
; 










)
(
)
(
)
(
)
(
a
x
d
a
x
А
a
x
Adx
dx
x
R
к
к
II

,
4
,
3
,
2
,
)
)(
1
(
1
)
(
1
1












k
С
а
х
к
А
С
к
a
x
A
к
к
. 
III turdagi eng sodda 
R
III
(
x
) ratsional kasrning integralini hisoblash usuli oldingi paragrafda 
(
I
3
integral) ko‘rilgan edi. Shunday bo‘lsada, bayonimizni to‘liq bo‘lishi va hisoblashlarni so‘ngi 
nuqtasigacha yetkazish maqsadida , bu usulni biz qarayotgan 
0
4
0
4
2
2







p
q
q
p
2
hol uchun yana bir marta eslatamiz: 














dx
q
рх
x
B
Ap
p
x
A
dx
q
рх
x
В
Ах
dx
x
R
III
2
2
2
)
2
(
2
)
(










q
рх
x
dx
Ap
B
q
рх
x
dx
p
x
A
2
2
)
2
(
)
2
(
2






















q
рх
x
dx
Ap
B
t
dt
A
dt
dx
p
x
t
q
рх
x
2
2
)
2
(
2
)
2
(









2
2
2
)
2
(
)
2
(
)
2
(
ln
2

p
x
p
x
d
Ap
B
q
рх
x
A

---

C
p
x
Ap
B
q
px
x
А










2
1
)
2
(
ln
2
2
arctg
. 
Endi IV turdagi eng sodda 
R
IV
(
x
) kasrning integralini hisoblaymiz: 














dx
q
px
x
Ap
B
p
x
A
dx
q
px
x
B
Ax
dx
x
R
k
k
IV
)
(
2
)
2
(
2
)
(
)
(
2
2
k
k
J
Ap
B
I
A
)
2
(
2


. 
Bu yerdagi 







,
4
,
3
,
2
,
)
(
)
2
(
2
k
q
px
x
dx
p
x
I
k
k
, 









,
4
,
3
,
2
,
4
,
]
)
2
[(
)
2
(
2
2
2
k
p
q
p
x
p
x
d
J
k
k


integrallarni hisoblaymiz: 






















k
k
k
t
dt
dt
dx
p
x
t
q
px
x
q
px
x
dx
p
x
I
)
2
(
)
(
)
2
(
2
2
C
q
px
x
k
C
t
k
k
k










1
2
1
)
)(
1
(
1
)
1
(
1
; 





















k
k
k
t
dt
dx
dt
p
x
t
p
x
p
x
d
J
)
(
,
2
)
)
2
[(
)
2
(
2
2
2
2













k
k
n
t
dt
t
t
dt
dt
t
t
t
)
(
1
)
(
1
)
(
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2







Bu tenglikdagi oxirgi integralga bo‘laklab integrallash formulasini qo‘llaymiz. Buning uchun 
integral ostidagi ifodani 
k
t
tdt
dv
t
u
)
(
,
2
2




ko‘rinishda bo‘laklaymiz. Bu holda 
du=dt
va 













1
2
2
2
2
2
2
2
2
)
)(
1
(
2
1
)
(
)
(
2
1
)
(
k
k
k
t
k
t
t
d
t
tdt
dv
v




bo‘lgani uchun , bo‘laklab integrallash formulasiga asosan, ushbu tenglikni hosil qilamiz:











1
2
2
1
2
2
2
2
2
)
(
)
1
(
2
1
)
)(
1
(
2
)
(
k
k
k
t
dt
k
t
k
t
t
dt
t



. 
Natijada 
J
k
 
integralni hisoblash uchun 








k
k
k
t
dt
t
t
dt
J
)
(
1
)
(
1
2
2
2
2
1
2
2
2












1
2
2
2
1
2
2
2
)
(
)
1
(
2
)
(
1
k
k
t
k
t
t
dt
























1
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
)
(
)
3
2
(
)
(
)
1
(
2
1
)
(
)
1
(
2
1
k
k
k
t
dt
k
t
t
k
t
dt
k





formulani hosil etamiz. Bu yerdan 
J
k
integralni hisoblash uchun ushbu 
]
)
3
2
(
)
(
[
)
1
(
2
1
)
(
1
1
2
2
2
2
2










k
k
k
k
J
k
t
t
k
t
dt
J



(4) 
rekkurent formula o‘rinli ekanligini ko‘ramiz. Bu rekkurent formula bo‘yicha 
J
k
integralni hisoblash 
xuddi shu ko‘rinishdagi, ammo 
k
parametrining qiymati bittaga kichik bo‘lgan 
J
k
–1
integralni 
hisoblashga olib keladi. O‘z navbatida 
J
k
–1
integralni hisoblash 
J
k
–2
integralga keltiriladi va bu 
jarayon quyidagi 
J
1
jadval integrali hosil bo‘lguncha davom ettiriladi: 





C
t
t
dt
J



arctg
1
2
2
1
. 
J
k
integral uchun hosil qilingan ifodaga 
t
va σ o‘rniga ularning 
4
,
2
2
p
q
p
x
t





 
qiymatlarini qo‘yib, bu integral javobini topamiz. 
Shunday qilib, I–IV turdagi eng sodda ratsional kasrlar elementar funksiyalarda 
integrallanuvchi va ularning integrallari logarifmik, arctg(
ax+b
) ko‘rinishdagi teskari trigonometrik 
funksiyalar hamda ratsional kasrlar orqali ifodalanadi.