Microsoft Word Олий матем 2-cem. Ma'Ruza маътинлари docx

3.3.
 
Kompleks sonlar haqida tushunchalar. 
Ratsional funksiyalarni integrallash bo‘yicha 
keyingi tasdiqlarni ifodalash uchun bizga kompleks son tushunchasi kerak bo‘ladi. 
i
2
= –1 yoki 

---

1


i
tenglik bilan aniqlanadigan 
i
belgi 
mavhum birlik
deb ataladi. Mavhum birlik yordamida 
manfiy sondan ham kvadrat ildiz olish imkoniyati paydo bo‘ladi. Masalan,
i
i
5
25
)
1
(
25
25
2







. 

Mavhum birlik 
i
va 
x
, 
y
haqiqiy sonlar orqali 
z=x+yi
kabi aniqlanadigan ifodalar
 
kompleks 
sonlar
 
deyiladi.
 
Bunda 
y
=0 desak, 
z=x
haqiqiy son hosil bo‘ladi, ya’ni kompleks sonlar to‘plami 
haqiqiy sonlarni o‘z ichiga oladi. 

Ikkita 
z
1
=x
1
+y
1
i
, 
z
2
=x
2
+y
2
i
kompleks sonlarning yig‘indisi, ayirmasi va ko‘paytmasi 
algebraik ikkihadlar yig‘indisi, ayirmasi va ko‘paytmasi kabi aniqlanadi: 
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
i
y
y
x
x
z
z
i
y
y
x
x
z
z










.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
i
y
x
y
x
y
y
x
x
i
y
y
i
y
x
y
x
x
x
i
y
x
i
y
x
z
z












Masalan, 
z
1
=
3
+
4
i
, 
z
2
=
5
–
2
i
kompleks sonlar uchun 
z
1
+
z
2
=8+2
i
,
z
1
–z
2
=
–
2+6
i
,
z
1
z
2
=23+14
i.
Ikkita 
x+yi
va 
x–yi
ko‘rinishdagi
 
kompleks sonlar 
qo‘shma kompleks sonlar
deyiladi. 
Qo‘shma kompleks sonlar yig‘indisi 2
x
va ko‘paytmasi 
x
2
+
y
2
doimo haqiqiy son bo‘ladi. 
Agar 
x
2
+
px
+
q
=0 kvadrat tenglamaning diskriminanti 
D
=(
p
/2)
2
–
q
<0 bo‘lsa, unda bu 
tenglama ikkita
a±ib
ko‘rinishdagi qo‘shma kompleks sonlardan iborat ildizlarga ega bo‘ladi .
 
Masalan, 
x
2
–8
x
+25=0 kvadrat tenglamada diskriminanti 
D
=(–4)
2
–25=–9 va 
i
i
D
3
9
)
1
(
9
9
2







bo‘lgani uchun, bu tenglamaning ildizlari 
x
1
=4–3
i
va 
x
2
=4+3
i
qo‘shma kompleks sonlardan iborat 
ekanligi kelib chiqadi. 
3.4.
 
Ratsional funksiyalarni integrallash. 
Endi umumiy holda 
R
(
x
)=
Q
m
(
x
)/
P
n
(
x
) to‘g‘ri 
ratsional kasrni integrallash masalasi ustida qisqacha to‘xtalib o‘tamiz. Bunda “Oliy algebra” fanida 
ko‘riladigan va isbotlanadigan bir qator teoremalarni isbotsiz keltiramiz. Ularning orasida ushbu 
teorema asosiy vazifani bajaradi: 
1-TEOREMA:
Har qanday (2) ko‘rinishdagi 
R
(
x
) to‘g‘ri ratsional kasrni 



r
k
k
x
R
x
R
1
)
(
)
(
(6) 
ko‘rinishda yozish mumkin. Bunda 
R
k
(
x
) I–IV turdagi eng sodda ratsional kasrlar, ularning umumiy 
soni 
r
≤
n
bo‘ladi. 
Demak, har qanday to‘g‘ri ratsional kasrni eng sodda ratsional kasrlarning (4) chiziqli 
kombinatsiyasi ko‘rinishida yozish mumkin. Kelgusida (6) tenglikni 
R
(
x
) ratsional kasrning 
yoyilmasi deb yuritamiz. 
Masalan, ushbu ratsional kasrlar uchun 
,
4
5
2
7
1
3
8
14
7
6
2
2
3
2











x
x
x
x
x
x
x
x
(7) 
2
2
8
5
1
5
2
4
3
2
3
2
2
3











x
x
x
x
x
x
x
x
(8) 
yoyilmalar o‘rinli ekanligini bevosita tekshirib ko‘rish mumkin. 
1-teoremadan har qanday 
R
(
x
)=
Q
m
(
x
)/
P
n
(
x
) ratsional kasr, eng sodda ratsional kasrlarning 
yig‘indisi sifatida, elementar funksiyalarda integrallanuvchi va uning integrali logarifmik, 
arktangens hamda ratsional funksiyalar orqali ifodalanishi kelib chiqadi. Ammo bu integralni 
hisoblash uchun bizga ratsional kasrning (6) yoyilmasi kerak bo‘ladi. Shu sababli
R
(
x
)=
Q
m
(
x
)/
P
n
(
x
) ratsional kasrning (6) yoyilmasini topish masalasini qaraymiz.
Dastlab (4) yoyilmada qatnashadigan eng sodda 
R
k
(
x
) kasrlarning turi va soni qanday 
aniqlanishini ko‘ramiz. Bu savolga javob maxrajining nollari, ya’ni
P
n
(
x
)=0 (9) 
algebraik tenglamaning ildizlari yordamida topiladi. Shu sababli (9) algebraik tenglamaning 
ildizlari to‘g‘risidagi ayrim ma’lumotlarni va ulardan kelib chiqadigan natijalarni qisqacha, isbotsiz 
keltiramiz. 
Biror 
x=a
soni (9) tenglamani ayniyatga aylantirsa, ya’ni 
P
n
(
a
)≡0 bo‘lsa, u shu 
tenglamaning 
ildizi
deyiladi. Masalan, 
x
=–1 soni 
0
2
4
3
)
(
2
3
3





x
x
x
x
P
(10) 

---

tenglamaning ildizi bo‘ladi, chunki 
P
3
(–1)=(–1)
3
+3∙(–1)
2
+4∙(–1)+2≡0. 
(9) tenglama uchun 
x=a
ildiz bo‘lib, 
0
)
(


a
P
n
shart bajarilsa, unda 
x=a
bu tenglamaning 
oddiy ildizi 
deyiladi. Bu holda (9) tenglamani chap tomonidagi ko‘phadni 
P
n
(
x
)=(
x–a
)
L
n
–1
(
x
) 
ko‘paytma ko‘rinishda ifodalab bo‘ladi. Bu tenglikda 
L
n
–1
(
x
) ko‘paytuvchi biror (
n–
1)- darajali 
ko‘phad bo‘lib, u 
L
n
–1
(
a
)≠0 shartni qanoatlantiradi. 
Masalan, 
x=
–1 soni (10) tenglamaning oddiy ildizi bo‘ladi, chunki
0
1
)
1
(
4
6
3
)
2
4
3
(
)
(
3
2
2
3
3














P
x
x
x
x
x
x
P
. 
Bunda haqiqatan ham yuqorida aytilgan tasdiq o‘rinli bo‘lib, 
)
(
)
1
(
)
2
2
)(
1
(
2
4
3
)
(
2
2
2
3
3
x
L
x
x
x
x
x
x
x
x
P










(11) 
tenglik bajarilishini va 
L
2
(–1)=1≠0 ekanligini tekshirib ko‘rish mumkin. 
2-TEOREMA:
Agar 
x=a
soni (9) tenglamaning, ya’ni 
R
(
x
)=
Q
m
(
x
)/
P
n
(
x
) ratsional kasr 
maxrajining oddiy ildizi bo‘lsa, unda 
R
(
x
) kasrning (6) yoyilmasida bitta 
A
/(
x–a
) ko‘rinishdagi I tur
eng sodda ratsional kasrdan iborat qo‘shiluvchi qatnashadi. 
Masalan, (8) ratsional kasrning maxraji uchun
 x=
–1 oddiy ildizi bo‘lishini yuqorida 
ko‘rib o‘tdik va shu sababli ratsional kasrning (8) yoyilmasida bitta –5/(
x+
1) qo‘shiluvchi 
qatnashmoqda. 
Agar (9) tenglamaning 
x=a
ildizi uchun 
0
)
(
,
)
1
,
,
2
,
1
(
0
)
(
)
(
)
(




a
P
s
k
a
P
s
n
k
n

shartlar bajarilsa, 
x=a
bu tenglamaning 
s karrali ildizi
deyiladi. Bu holda (7) tenglamaning chap 
tomonini 
P
n
(
x
)=(
x–a
)
s
L
n
–s
(
x
) [
L
n–s
(
a
)≠0] ko‘rinishda ifodalab bo‘ladi. 
Masalan, 
P
3
(
x
)=
x
3
–
x
2
–8
x
+12=0 tenglama uchun 
x
=2 ikki karrali ildiz bo‘ladi. Haqiqatan 
ham 
0
10
)
2
6
(
)
(
,
0
)
8
2
3
(
)
(
,
0
)
2
(
2
2
3
2
2
2
3
3















x
x
x
x
x
x
P
x
x
x
P
P
va
P
3
(
x
)=
x
3
–
x
2
–8
x
+12=(
x
–2)
2
(
x
+3)
(12) 
tenglik o‘rinli. 
3-TEOREMA:
Agar 
x=a
soni (9) tenglamaning, ya’ni 
R
(
x
)=
Q
m
(
x
)/
P
n
(
x
) ratsional kasr 
maxrajining 
s
karrali ildizi bo‘lsa, unda 
R
(
x
) kasrning (6) yoyilmasida
s
k
a
x
A
k
k
,
,
2
,
1
,
)
(



ko‘rinishdagi bitta I tur va
s
–1
 
ta II tur eng sodda ratsional kasrlardan iborat qo‘shiluvchilar 
qatnashadi. 
Masalan, (12) tenglikdan 
12
8
1
2
2
)
(
2
3
2






x
x
x
x
x
x
R
ratsional kasrning maxraji uchun 
x
=2 ikki karrali va 
x
=–3 oddiy ildiz ekanligi kelib chiqadi va 
bunda 
3
1
)
2
(
1
2
1
12
8
1
2
2
)
(
2
2
3
2












x
x
x
x
x
x
x
x
x
R
yoyilma o‘rinli bo‘lishini tekshirib ko‘rish mumkin. 
Agar biror 
x
1
=a+bi
kompleks son (9) algebraik tenglamaning ildizi bo‘lsa, unda 
x
2
=a–bi
qo‘shma kompleks son ham bu tenglamaning ildizi bo‘lishini isbotlash mumkin. Demak, 
P
n
(
x
)=0 
tenglama kompleks ildizlarga ega bo‘lsa, bu ildizlar albatta qo‘shma kompleks sonlar juftliklaridan 
iborat bo‘ladi. 
Agar
x
1,2
=a±bi
qo‘shma kompleks sonlar 
P
n
(
x
)=0 tenglamaning oddiy ildizi bo‘lsa, 
unda
P
n
(
x
)=(
x–x
1
)(
x–x
2
)
L
n–2
(
x
)=(
x
2
+
px
+
q
)
L
n–2
(
x
) [
L
n–2
(
x
1,2
)≠0, 
p
=–2
a
, 
q
=
a
2
+
b
2
] 
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Masalan, 
P
4
(
x
)=2
x
4
–17
x
3
+77
x
2
–107
x–
75 
ko‘phad uchun 
x
1,2
=
3
±
4
i
oddiy kompleks ildiz bo‘ladi. Bu holda
(
x–x
1
)(
x–x
2
)=
 x
2
–6
x+
25 =>
 P
4
(
x
)=(
x
2
–6
x+
25)(2
x
2
–5
x
–3) (13) 
ekanligini ko‘rsatish mumkin. 

---

4-TEOREMA:
Agar 
R
(
x
)=
Q
m
(
x
)/
P
n
(
x
) ratsional kasrning maxraji
x
1,2
=a±bi
qo‘shma 
kompleks sonlar juftligidan iborat oddiy ildizga ega bo‘lsa, unda
R
(
x
) kasrning (4) yoyilmasida 
bitta 
)
,
2
(
2
2
2
b
a
q
a
p
q
px
x
B
Ax







ko‘rinishdagi III tur eng sodda ratsional kasr qatnashadi. 
Masalan, (13) tenglikka asosan, 
















)
3
)(
1
2
)(
25
6
(
1
5
2
)
3
5
2
)(
25
6
(
1
5
2
2
2
3
2
2
2
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3
1
2
25
6
2







x
D
x
C
x
x
B
Ax
ko‘rinishdagi yoyilma o‘rinli bo‘ladi. 
5-TEOREMA:
Agar 
R
(
x
)=
Q
m
(
x
)/
P
n
(
x
) ratsional kasrning maxraji uchun 
x
1,2
=a±bi
qo‘shma kompleks sonlar
s 
karrali ildizi bo‘lsa, unda
P
n
(
x
)=(
x
2
+
px
+
q
)
s
L
n–2s
(
x
) [
L
n–2s
(
x
1,2
)≠0, 
p
=–2
a
, 
q
=
a
2
–
b
2
] 
tenglik o‘rinli bo‘ladi va 
R
(
x
) ratsional kasrning chiziqli yoyilmasida
s
k
q
px
x
B
x
A
k
k
k
,
,
2
,
1
,
)
(
2





ko‘rinishdagi bitta III tur va 
s–
1 ta IV tur eng sodda ratsional kasrlar qatnashadi.
Masalan, 
P
4
(
x
)=(
x
2
+9)
3
(
x
–5)=0 tenglama uchun 
x=±
3
i
uch karrali kompleks ildiz, 
x=
5 
esa oddiy haqiqiy ildiz bo‘lgani uchun ushbu ratsional kasr quyidagi ko‘rinishdagi yoyilmaga ega 
bo‘ladi: 
5
)
9
(
9
)
5
(
)
9
(
6
3
4
3
2
2
2
2
2
1
1
3
2
2
3













x
A
x
B
x
A
x
B
x
A
x
x
x
x
x
. 
Demak, yuqoridagi 2–5- teoremalardan 
)
(
)
(
)
(
x
P
x
Q
x
R
n
m

to‘g‘ri ratsional kasrning (6) yoyilmasidagi eng sodda ratsional kasrlarning turlari va sonlari 
aniqlanadi. Ammo (6) yoyilmani to‘liq aniqlash uchun unga kiruvchi eng sodda ratsional 
kasrlarning suratlaridagi 
A
k
, 
B
k
koeffitsiyentlarni ham aniqlash kerak bo‘ladi. Bu masala