Microsoft Word Олий матем 2-cem. Ma'Ruza маътинлари docx

5.2. Aniq integralning ta’rifi va mavjudlik sharti.
Berilgan 
y=f
(
x
) funksiya [
а
, 
b
] kesmada 
aniqlangan bo‘lsin. Bu kesmani ixtiyoriy 
a
=
х
0
<
х
1

х
2

…

х
i

… 
х
n–1

х
n
 =b
bo‘linish nuqtalari yordamida 
n
ta
[
х
0
, 
х
1
], [
х
1
, 
х
2
], …, [
х
i–1
, 
х
i
], …, [
х
n–1
, 
х
n
] 
kichik kesmachalarga ajratamiz. Hosil bo‘lgan har bir [
х
i–1
, 
х
i
] (
i
=1, 2, 3, …, 
n
) kichik 
kesmachalardan ixtiyoriy bir 

i
nuqtani tanlaymiz. Tanlangan 

i
nuqtalarda berilgan 
f 
(
x
)
 
funksiyaning
f
(

i
) (
i
=1, 2, 3, …, 
n
) qiymatlarini va [
х
i–1
, 
х
i
] kesmachalarning 
х
i
–
х
i–1
=

х
i
(
i
=1, 2, 3, 
…, 
n
) uzunliklarini hisoblaymiz. Bu qiymatlaridan foydalanib ushbu yig‘indini tuzamiz:




n
i
i
i
n
x
f
f
S
1
)
(
)
(

(10) 
2-TA’RIF:
(10) tenglik bilan aniqlanadigan 
S
n
(
f
) yig‘indi 
y=f
(
x
) funksiya uchun [
a
,
b
] kesma 
bo‘yicha 
integral yig‘indi
deb ataladi. 
S
n
( 
f 
) integral yig‘indi ta’rifidan ko‘rinadiki uning qiymati [
х
i–1
, 
х
i
] kichik kesmachalar uzunligi 

х
i
, ularning soni 
n
va tanlangan 

i
nuqtalarga bog‘liq bo‘ladi. 
i
n
i
n
x





1
max
belgilash kiritamiz.
3-TA’RIF:
Agar 
S
n
( 
f 
) integral yig‘indilar ketma-ketligi 
n
→∞ va Δ
n
→0 bo‘lganda 
x
i
bo‘linish nuqtalari hamda [
х
i–1
, 
х
i
] kichik kesmachalardan olinadigan 

i
nuqtalarning tanlanishiga 
bog‘liq bo‘lmagan biror chekli 
S
( 
f 
) limitga ega bo‘lsa , bu limit qiymati 
S
( 
f 
) berilgan 
f
(
x
) 
funksiyadan [
a
,
b
] kesma bo‘yicha olingan 
aniq integral
deyiladi. 
Berilgan 
f
(
x
) funksiyadan [
a
,
b
] kesma bo‘yicha olingan aniq integral 

b
a
dx
x
f
)
(
kabi belgilanadi 
va ta’rifga asosan quyidagicha aniqlanadi : 















n
i
i
i
n
n
n
b
a
x
f
f
S
f
S
dx
x
f
n
n
1
0
,
0
,
)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(

. (11) 
Bu yerda 
а
 
– aniq integralning 
quyi chegarasi
, 
b
– 
yuqori chegarasi
, [
a
, 
b
] –integrallash 
kesmasi, 
x
–integrallash o‘zgaruvchisi,
f
(
x
) – 
integral ostidagi funksiya
,
f
(
x
)
dx 
– 
integral ostidagi 
ifoda
deyiladi. 
4-TA’RIF:
Agar 
f
(
x
) funksiyadan [
a
,
b
] kesma bo‘yicha olingan aniq integral 

b
a
dx
x
f
)
(
mavjud bo‘lsa, unda 
f
(
x
) bu kesmada 
int
е
grallanuvchi funksiya
dеb ataladi. 
Izoh: 
Aniq integralning yuqorida keltirilgan ta’rifi olmoniyalik buyuk matematik Riman 
(1826–1866 y.) tomonidan taklif etilgan va shu sababli Riman integrali deb yuritiladi. Bundan 
tashqari aniq integralning Koshi, mashhur farang matematigi Lebeg (1875–1941 y.) va 
niderlandiyalik matematik Stilt’yes (1856–1894 y.) tomonlaridan kiritilgan ta’riflari ham mavjud va 
keng qo‘llaniladi. 
Oldin ko‘rilgan masalalarga qaytsak, (3) va (11) tengliklarga asosan egri chiziqli 
trapetsiyaning yuzasi


b
a
dx
x
f
S
)
(
, 
(6) va (11) tengliklarga asosan o‘zgaruvchi kuch bajargan ish 


b
a
dx
x
f
A
)
(
, 
(9) va (11) tengliklarga asosan ishlab chiqarilgan mahsulot hajmi 


b
a
dt
t
f
V
)
(

---

aniq integrallar orqali ifodalanishi kelib chiqadi. Bu tengliklarni aniq integralning gеomеtrik, 
mеxanik va iqtisodiy ma’nolari deb olishimiz mumkin. 
Aniq integral ta’rifidan ko‘rinadiki, berilgan 
f
(
x
) funksiya [
a
,
b
] kesmada integrallanuvchi 
bo‘lishi uchun ancha og‘ir shartlarni qanoatlantirishi kerak. Haqiqatan ham, qaralayotgan [
a
,
b
] 
kesmani bo‘linish nuqtalari 
x
i
(
i
=1,2, ∙∙∙, 
n
) va [
х
i–1
, 
х
i
] kesmalardan tanlanadigan 

i
nuqtalar qanday 
bo‘lmasin aniq integralni ifodalovchi (11) limit qiymati 
S
(
f
) bir xil bo‘lishi kerak. Bu esa har 
qanday funksiya uchun bajarilavermaydi. Masalan, [0,1] kesmada aniqlangan D(
x
) Dirixle 
funksiyasi (VII bob, §3) uchun integral yig‘indini qaraymiz. Agar [
х
i–1
, 
х
i
] kesmachalardan 
olinadigan 

i
nuqtalar ratsional sonlarni ifodalasa, unda D(

i
)=1 va integral yig‘indi 
1
0
1
1
)
(
)
(
1
1
1
















n
i
i
n
i
i
n
i
i
i
n
x
x
x
D
D
S

; 
agar 

i
nuqtalar irratsional sonlarni ifodalasa, unda D(

i
)=0 va integral yig‘indi 
0
0
)
(
)
(
1
1










n
i
i
n
i
i
i
n
x
x
D
D
S

bo‘ladi. Bu yerdan ko‘rinadiki, 
n
→∞ bo‘lganda
S
n
(
f
) integral yig‘indi limitining qiymati 

i
nuqtalarning tanlanishiga bog‘liq. Bundan esa 
D
(
x
) funksiya [0,1] kesmada integrallanuvchi 
emasligi kelib chiqadi. 
Shu sababli (11) limitni, ya’ni 

b
a
dx
x
f
)
(
integralni qaysi shartda mavjud bo‘lishini aniqlashimiz 
kerak. Bu savolga javob isbotsiz beriladigan ushbu teoremalarda keltiriladi. 
1-TEOREMA:
Berilgan [
a
,
b
] kesmada chegaralangan va unda chekli sondagi uzilish 
nuqtalariga ega bo‘lgan 
f
(
x
) funksiya shu kesmada integrallanuvchi bo‘ladi. 
NATIJA:
Berilgan [
a
,
b
] kesmada uzluksiz bo‘lgan 
f
(
x
) funksiya shu kesmada integrallanuvchi 
bo‘ladi. 
Haqiqatan ham, Veyershtrass teoremasiga asosan (VI bob, §4) [
a
,
b
] kesmada uzluksiz 
f
(
x
) 
funksiya shu kesmada chegaralangan bo‘lib, oldingi teorema shartlarini qanoatlantiradi va shu 
sababli bu kesmada integrallanuvchidir.
Bu tasdiqlardan funksiyalarning nisbatan keng sinfi uchun ularning aniq integrallari mavjud 
ekanligini ko‘ramiz. Aniq integrallarning qiymatini topish (integralni hisoblash) masalasini 
kelgusiga qoldirib, bu masalani yechish uchun kerak bo‘ladigan aniq integralning xossalari bilan 
tanishamiz. 
5.3. Aniq integralning xossalari. 
Avvalo yuqorida ko‘rib o‘tilgan aniq integral ta’rifiga ikkita 
qo‘shimcha kiritamiz. 

Aqar aniq integralda quyi 
a
va yuqori 
b
chegaralar (
a
<
b
) o‘rni almashsa, unda 




a
b
b
a
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
(12) 
tenglik o‘rinli deb qabul etamiz. Bunday qarorni quyidagicha tushuntirish mumkin. (12) tenglikning 
chap tomonidagi integralda 
x
integrallash o‘zgaruvchisi OX o‘qda 
x=a 
nuqtadan 
x=b
nuqtaga qarab 
o‘sadi va shu sababli 

х
i
=
х
i
–
х
i–1
>0 bo‘ladi. O‘ng tomondagi integralda esa aksincha bo‘lib, 
x
integrallash o‘zgaruvchisi 
x=b
nuqtadan 
x=a
nuqtaga qarab kamayib boradi va unda δ
x
i
=
 
х
i–1
–
х
i
= –

х
i
<0 bo‘ladi. Demak, (12) tenglikdagi integrallar uchun ularning integral yig‘indilari faqat 
ishoralari bilan farq qiladi. Bu yerdan, limit xossasiga asosan, (12) tenglikni qabul etish 
mumkinligini ko‘ramiz. 

(12) tenglikdan


a
a
dx
x
f
0
)
(
(13) 
deb qabul qilishimiz mumkinligi kelib chiqadi. Haqiqatan ham bu holda 










a
a
a
a
a
a
a
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
0
)
(
0
)
(
2
)
(
)
(
. 

---

Izoh: 
Aniq integral ta’rifini ifodalovchi (11) tenglikdan ko‘rinadiki, uning qiymati biror 
sondan iborat bo‘ladi. Bu son faqat integral ostidagi 
f
(
x
) funksiya va [
a
,
b
] integrallash kesmasiga 
bog‘liq bo‘lib, integrallash o‘zgaruvchisiga bog‘liq emas. Shu sababli aniq integralda integrallash 
o‘zgaruvchisini har xil belgilash mumkin, ya’ni 






b
a
b
a
b
a
ds
s
f
dt
t
f
dx
x
f

)
(
)
(
)
(
. 
I xossa:
Aniq integralda o‘zgarmas ko‘paytuvchini integral belgisidan tashqariga chiqarish 
mumkin, ya’ni 
k
o‘zgarmas son bo‘lsa,unda 



b
a
b
a
dx
x
f
k
dx
x
kf
)
(
)
(
(14) 
tenglik o‘rinli bo‘ladi. 
II xossa:
Ikki yoki undan ortiq funksiyalar algebraik yig‘indisining aniq integrali 
qo‘shiluvchilar aniq integrallarining algebraik yig‘indisiga teng bo‘ladi, ya’ni 











b
a
b
a
b
a
m
b
a
m
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
x
f
x
f
)
(
)
(
)
(
)]
(
)
(
)
(
[
2
1
2
1


(15) 
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bunda tenglikning o‘ng tomonidagi aniq integrallar mavjud deb hisoblanadi. 
III xossa:
Agar [
а
, 
b
] kesmada
f
(
x
)

0 va integrallanuvchi
 
bo‘lsa, unda uning aniq integrali 
uchun 
0
)
(


b
a
dx
x
f
(16) 
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. 
IV xossa:
Agar [
а
, 
b
] kesmada
f
(
x
) va 
g
(
x
) funksiyalar integrallanuvchi hamda
f
(
x
)≤
 g
(
x
) 
bo‘lsa, unda ularning aniq integrallari uchun 



b
a
b
a
dx
x
g
dx
x
f
)
(
)
(
(17) 
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. 
V xossa:
Agar 
a
<
c
<
b
va 
f
(
x
) funksiya [
a
,
c
] , [
c
,
b
] kesmalarda integrallanuvchi bo‘lsa, unda 
u [
a
,
b
] kesmada ham integrallanuvchi va





b
a
b
c
c
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
(18) 
tenglik o‘rinli bo‘ladi. 
Izoh: 
III xossani ifodalovchi (18) tenglik 
c
<
a
va 
c
>
b
holda ham o‘rinli bo‘ladi. Masalan, 
c
>
b
holda 
a
<
b
<
c
bo‘lgani uchun (18) tenglik yuqoridagi mulohazalar va (12) tenglikka asosan 
quyidagicha keltirib chiqariladi: 












b
a
c
b
c
a
c
a
c
b
b
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(





b
a
c
b
c
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
. 
VI xossa:
Har qanday [
a
,
b
] kesmada o‘zgarmas 
f
(
x
)=1 funksiya integrallanuvchi va 
a
b
dx
dx
x
f
b
a
b
a





)
(
(19) 
tenglik o‘rinli bo‘ladi. 
Izoh:
Integralning geometrik ma’nosiga ko‘ra (19) tenglikdagi aniq integral asosi [
a
,
b
] 
kesmadan iborat va balandligi 
f
(
x
)=1 bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak yuzasini ifodalaydi va bu yuza 
S
=1∙(
b–a
)=
 b–a
ekanligidan ham (19) tenglikka ishonch hosil etish mumkin. 
VII xossa: 
Agar [
a
,
b
] kesmada (
a
<
b
) integrallanuvchi 
y=f
(
x
) funksiyaning shu kesmadagi 
eng kichik va eng katta qiymatlari mos ravishda 
m
va 
M
bo‘lsa, unda aniq integral uchun
)
(
)
(
)
(
a
b
M
dx
x
f
a
b
m
b
a





(20) 
qo‘sh tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. 

---

VIII xossa:
Agar |
f
(
x
)| funksiya [
a
,
b
] kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, unda 
f
(
x
) funksiya 
ham bu kesmada integrallanuvchi va quyidagi tengsizlik o‘rinli bo‘ladi: 



b
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
(21)