|
7.3.
Aniq integral yordamida jismlar hajmini hisoblash.
Maktab geometriyasidan biz
faqat eng sodda jismlar bo‘lmish prizma, piramida, konus, silindr va shar hajmlarini hisoblash
formulalarini bilamiz. Aniq integral yordamida bir qator murakkabroq jismlarning hajmini
hisoblash imkoniyatiga ega bo‘lamiz.
Jism hajmini uning ko‘ndalang k
е
simi yuzasi bo‘yicha hisoblash.
Bizga biror
J
jism berilgan bo‘lib, uni OX o‘qiga pеrpеndikular tekisliklar bilan kesganimizda hosil bo‘ladigan
kеsimlarning yuzasi ma’lum va bu yuza biror uzluksiz
S
(
x
),
x
[
a
,
b
], funksiya orqali ifodalansin. Bu
holda
J
jismning
V
hajmini topish masalasini qaraymiz. Buning uchun [
а
,
b
] kesmani
а
=
х
0
<
х
1
<
х
2
< ∙∙∙<
х
i-1
<
х
i
< ∙∙∙<
x
n
=
b
nuqtalar bilan ixtiyoriy
n
bo‘lakka ajratamiz va bu nuqtalar orqali OX o‘qiga pеrpеndikular
tekisliklar o‘tkazamiz. Bu tеkisliklar jismni
J
i
(
i
=1, 2, ∙∙∙,
n
) qatlamlarga ajratadi. Bu qatlamlarning
hajmlarini
V
i
(
i
=1, 2, ∙∙∙,
n
)
deb belgilasak, unda izlangan
V
hajmni
V=
V
1
+
V
2
+∙∙∙+
V
n
yig‘indi
ko‘rinishida yozish mumkin. Yuqorida ko‘rsatilgan
x
i
bo‘linish nuqtalari orqali hosil qilingan har
bir [
x
i–
1
,
x
i
] kesmachalardan (
i
=1, 2, ∙∙∙,
n
) ixtiyoriy bir
ξ
i
nuqtalarni tanlab olamiz. Endi
J
i
(
i
=1, 2,
∙∙∙,
n
) qatlamlarning har birini balandligi
x
i
=
x
i
–x
i–
1
, asosining yuzasi esa
S
(
i
) bo‘lgan silindrik
jismlar bilan almashtiramiz. Bu holda
V
i
S
(
i
)
x
i
taqribiy tenglik o‘rinli ekanligini nazarga
olsak, yuqoridagi yig‘indidan
n
n
i
i
i
n
i
i
V
x
S
V
V
1
1
)
(
taqribiy natijaga ega bo‘lamiz. Bu taqribiy tenglikda bo‘laklar soni
n
qanchalik katta va
i
n
i
n
x
1
max
qanchalik kichik bo‘lsa,
V
n
yig‘indi izlanayotgan
V
hajm qiymatiga shunchalik yaqin bo‘ladi deb
olish mumkin. Shu sababli
J
jismning hajmi
V
yuqoridagi
V
n
yig‘indilar ketma-ketligining
n
→∞,
Δ
n
→0 bo‘lgandagi limiti deb olinadi. Unda
V
n
yig‘indi
S
(
x
) funksiya uchun [
a
,
b
] kesma bo‘yicha
integral yig‘indi ekanligini hisobga olib va aniq integral ta’rifidan foydalanib, berilgan
J
jismning
V
hajmini uning ko‘ndalang kesimi yuzasi
S
(
x
) bo‘yicha hisoblash uchun quyidagi formulaga ega
bo‘lamiz:
b
а
i
n
i
i
n
n
n
dx
x
S
x
S
V
V
n
n
)
(
)
(
lim
lim
1
0
,
0
,
. (8)
Misol sifatida asosining radiusi
R
, balandligi esa
h
bo‘lgan doiraviy konusning (79-rasmga
qarang)
V
hajmini (8) formula yordamida topamiz.
Bunda ko‘ndalang kesimlar doiralardan iborat bo‘lib, ularning radiuslari
r
=
Rx
/
h
,
x
[0,
h
], funksiya
bilan aniqlanadi. Demak, ko‘ndalang kesim yuzasi
S
(
x
)=π
r
2
=π(
Rx
/
h
)
2
funksiya bilan ifodalanadi. Unda bu konus hajmi uchun, (8) tenglikka asosan,
h
S
h
R
h
h
R
h
x
R
dx
h
x
R
dx
x
S
V
asos
h
h
h
3
1
3
3
3
)
(
2
2
3
2
0
2
3
2
0
2
2
2
0
formulaga , ya’ni bizga maktabdan tanish bo‘lgan natijaga kelamiz.
Aylanma jismlarining hajmini hisoblash.
Endi
у
=f
(
x
),
x
[
a
,
b
], funksiya grafigi orqali
hosil qilingan egri chiziqli trapetsiyaning OX koordinata o‘qi atrofida aylanishdan hosil bo‘lgan
J
aylanma jismning (80-rasmga qarang)
V
hajmini topish masalasini ko‘ramiz.
Bunda aylanma jismning ko‘ndalang kesimlari doiralardan iborat bo‘lib, ularning yuzasi
S(
х
)=
f
2
(
x
) funksiya bilan ifodalanadi. Demak, (8) formulaga asosan, aylanma jism hajmi
V
uchun
ushbu formulaga ega bo‘lamiz:
b
а
dx
x
f
V
)
(
2
. (9)
Misol sifatida oldin ko‘rib o‘tilgan doiraviy konusning hajmini yana bir marta hisoblaymiz. Bu
konusni uning
y
=
Rx
/
h
tenglamali yasovchisini OX koordinata o‘qi atrofida aylanishidan hosil
bo‘lgan aylanma jism deb qarash mumkin ya shu sababli, (9) formulaga asosan,
h
S
h
R
h
h
R
h
x
R
dx
h
x
R
V
asos
h
h
3
1
3
3
3
2
2
3
2
0
2
3
2
0
2
2
2
natijaga, ya’ni oldin hosil qilingan formula o‘rinli ekanligiga yana bir marta ishonch hosil etamiz.
Yana bir misol sifatida yarim o‘qlari
a
va
b
bo‘lgan ellipsni OX o‘q atrofida aylantirishdan hosil
bo‘ladigan ellipsoidning hajmini topamiz. Ellipsning kanonik tenglamasidan (V bob,§3, (7))
]
,
[
,
)
1
(
1
2
2
2
2
2
2
2
2
a
a
x
a
x
b
y
b
y
a
x
ekanligini topamiz. Bu natijani (7) formulaga qo‘yib, ellipsoidning
V
hajmini hisoblaymiz:
2
2
3
2
2
2
2
2
2
3
4
)
3
(
)
1
(
)
(
ab
a
x
x
b
dx
a
x
b
dx
y
dx
x
f
V
a
a
a
a
a
a
a
a
.
Agar bunda
a=b=R
deb olsak, unda ellipsoid radiusi
R
bo‘lgan sharga aylanadi va bu holda
sharning halmi uchun yuqoridagi natijadan bizga maktabdan tanish bo‘lgan
V=
4π
R
3
/3 formula
kelib chiqadi.
7.4.
Aniq integralni mexanika masalalariga tatbiqlari.
Biz oldin kattaligi
o‘zgaruvchan va
f
(
x
) funksiya bilan aniqlanadigan kuch moddiy nuqtani [
a
,
b
] kesma bo‘yicha
harakatlantirganda bajarilgan
A
ish qiymati aniq integral orqali
b
a
dx
x
f
A
)
(
formula bilan hisoblanishini ko‘rsatgan edik. Ammo bu bilan aniq integralni mexanika masalalarini
yechishga tatbig‘i chegaralanib qolmaydi. Bunga misol sifatida bu yo‘nalishda yana ikkita masalani
ko‘rib o‘tamiz.
Notekis harakatda bosib o‘tilgan masofani hisoblash.
Ma’lumki, biror
v
o‘zgarmas
tezlik bilan to‘g‘ri chiziq bo‘ylab tekis harakat qilayotgan moddiy nuqtaning [
a
,
b
] vaqt oralig‘ida
bosib o‘tgan
s
masofasi
s
=
v
(
b-a
) formula bilan hisoblanadi. Endi tezligi har bir
t
vaqtda
o‘zgaruvchan va
v=v
(
t
) funksiya bilan aniqlanadigan notekis harakatda moddiy nuqtaning [
a
,
b
]
vaqt oralig‘ida bosib o‘tadigan
s
masofani hisoblash masalasini ko‘ramiz. Buning uchun [
a
,
b
] vaqt
oraligini
a
=
t
0
,
t
1
,
t
2
, ….. ,
t
n-1
,
t
n
=
b
nuqtalar bilan ixtiyoriy
n
bo‘lakka ajratamiz. Har bir (
t
i-1
,
t
i
)
vaqt oraliqchalari uzunliklarini
t
i
kabi belgilaymiz va undan ixtiyoriy bir
i
t
~
nuqtani tanlaymiz.
Moddiy nuqtaning (
t
i-1
,
t
i
) vaqt oraliqchalarida bosib o‘tgan masofasini
s
i
kabi belgilab, bu vaqtda
uning
v
i
tezligi taqriban o‘zgarmas va
v
i
=
v
(
i
t
~
)dеb olamiz. Bu holda
s
i
v
i
t
i
=
v
(
i
t
~
)
t
i
bo‘lib,
bosib o‘tilgan s masofa uchun
n
i
n
i
i
i
i
i
n
i
i
t
t
v
t
v
s
s
1
1
1
)
~
(
taqribiy tеnglikni hosil qilamiz. Bu masofaning aniq qiymatini topish maqsadida bo‘lakchalar soni
n
ni
cheksiz oshirib boramiz. Bunda
n
i
i
n
x
1
max
cheksiz kamayib boradi deb hisoblaymiz.
Natijada, aniq integral ta’rifiga asosan,
b
a
n
i
i
i
n
dt
t
v
t
t
v
s
n
)
(
)
~
(
lim
1
0
,
(10)
formulaga ega bo‘lamiz.
Misol sifatida tezligi
v(t)=t
2
+3t
qonun bo‘yicha o‘zgaradigan notekis harakatda [3,8] vaqt
oralig‘ida bosib o‘tilgan
s
masofani (10) formulaga asosan topamiz:
.
595
45
640
)
3
2
3
(
)
8
2
8
(
)
2
(
)
4
3
(
2
3
2
3
8
3
8
3
2
3
2
t
t
dt
t
t
s
Bundan tashqari aniq integral bir jinsli bo‘lmagan sim massasini, yassi chiziq va geometrik
shaklning og‘irlik markazi, inersiya momentlarini hisoblash uchun ham qo‘llaniladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
