|
7.1.
Tekislikdagi geometrik shakllarning yuzalarini hisoblash.
Bizga ma’lumki,
y=f
(
x
)≥0 funksiya grafigi,
х
=
а
va
х
=
b
vertikal to‘g‘ri chiziqlar hamda
y
=0 , ya’ni OX koordinata
o‘qi bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzasi aniq integral orqali
b
a
dx
x
f
S
)
(
(1)
formula bilan hisoblanadi. Bu formulani umumiyroq hollarda qaraymiz.
Agar [
а
,
b
] kesmada
f
(
x
)
0 bo‘lsa, unda tegishli egri chiziqli trapetsiya OX o‘qidan
pastda joylashgan va aniq integral qiymati manfiy son bo‘ladi. Shu sababli bu holda egri chiziqli
trapetsiya yuzasi
b
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
S
)
(
)
(
(2)
formula orqali topiladi.
Masalan,
x
[π/2,π] holda
y
=cos
x
≤0 va bunda hosil bo‘ladigan egri chiziqli trapetsiya
yuzasi
1
1
0
sin
cos
2
/
2
/
x
xdx
S
.
Agar [
а
,
b
] kesmada
f
(
x
) ishorasi o‘zgaruvchan funksiya bo‘lsa, unda tegishli egri
chiziqli trapetsiyaning bir qismi OX o‘qidan yuqorida , bir qismi esa pastda joylashgan bo‘ladi
(keyingi betdagi 76-rasmga qarang).
Bu holda hosil bo‘ladigan egri chiziqli trapetsiyaning yuzasi (1) va (2) formulalardan foydalanib
topiladi va ularni birlashtirib
b
a
dx
x
f
S
)
(
(3)
ko‘rinishda yozish mumkin.
Masalan,
x
[0,π] holda
y
=cos
x
funksiya [0,π/2) sohada musbat, (π/2,π] sohada esa manfiy
qiymatlar qabul etadi. Bunda hosil bo‘ladigan egri chiziqli trapetsiya yuzasi
2
)
1
(
1
sin
sin
)
cos
(
cos
cos
2
/
2
/
0
2
/
2
/
0
0
x
x
dx
x
xdx
dx
x
S
.
у
=
f
(
x
) vа
у
=
g
(
x
) [
f
(
x
)≥
g
(
x
)] egri chiziqlar hamda
х
=
а
vа
х
=
b
to‘g‘ri chiziqlar
bilan chegaralangan geometrik shaklning (77-rasm)
S
yuzasini hisoblash talab etiladi.
Chizmadan va aniq integralning geometrik ma’nosidan foydalanib, quyidagi tengliklarni yoza
olamiz:
b
a
b
a
b
a
b
B
aA
b
B
aA
B
B
A
A
dx
x
g
x
f
dx
x
g
dx
x
f
S
S
S
S
)]
(
)
(
[
)
(
)
(
1
1
2
2
1
2
2
1
. (4)
Masalan,
y=x
2
va
y=x
,
x=
2 va
x=
4 chiziqlar bilan chegaralangan yassi geometrik shakl
yuzasini (4) formuladan foydalanib hisoblaymiz:
3
2
12
3
38
6
3
56
)
2
3
8
(
)
8
3
64
(
)
2
3
(
)
(
4
2
4
2
2
3
2
x
x
dx
x
x
S
.
Endi
x=
φ
(
t
) ,
y=
ψ
(
t
) (
t
[
α
,
β
]) parametrik tenglama bilan berilgan chiziqdan hosil
qilingan egri chiziqli trapetsiya yuzasini hisoblash masalasini qaraymiz. Unda (1) formuladagi aniq
integralda
x
o‘zgaruvchini
t
o‘zgaruvchi bilan almashtirib, quyidagi formulaga ega bo‘lamiz:
t
d
t
t
t
d
t
ydx
dx
x
f
S
b
a
b
a
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
. (5)
Misol sifatida yarim o‘qlari
a
va
b
bo‘lgan ellipsning
S
yuzasini topamiz. Bu ellipsning
parametrik tenglamasi
x
=
a
cos
t
,
y=b
sin
t
(
t
[0,2π]) ekanligi bizga ma’lum. Ellipsning
simmetrikligidan hamda (5) formuladan foydalanib, uning yuzasi
S
uchun
0
2
/
2
0
2
/
0
sin
4
)
sin
(
sin
4
)
(
4
tdt
ab
dt
t
a
t
b
dx
x
f
S
a
ab
t
t
ab
dt
t
ab
0
2
/
0
2
/
)
2
sin
2
1
(
2
2
2
cos
1
4
formulaga ega bo‘lamiz. Bunda
a=b=R
desak, unda ellips aylanaga o‘tadi va yuqoridagi
formuladan doira yuzasi uchun bizga tanish bo‘lgan
S
=π
R
2
formula kelib chiqadi.
7.2.
Tekislikdagi egri chiziq yoyi uzunligini hisoblash.
Maktab geometriyasida
tekislikdagi egri chiziqlardan faqat aylana va uning yoylari uzunligini hisoblash formulasi beriladi.
Parabola, giperbola, sinusoida kabi egri chiziqlarning turli yoylari uzunligini hisoblash masalasi
amaliyotda kerak bo‘ladi. Bu masala ham aniq integral yordamida o‘z yechimini topadi.
у
=
f
(
x
),
x
[
a
,
b
], funksiya bilan berilgan egri chiziqning
AB
yoyi uzunligini topish masalasini
qaraymiz (78-rasmga qarang).
Bunda
f
(
x
) differensiallanuvchi va uning
f
′(
x
) hosilasi [
a
,
b
] kesmada uzluksiz deb hisoblaymiz.
Berilgan [
а
,
b
] kesmani
а
=
х
0
<
х
1
<
х
2
< ∙∙∙<
х
i-1
<
х
i
< ∙∙∙<
x
n
=
b
nuqtalar bilan ixtiyoriy
n
bo‘lakka ajratamiz. Natijada
AB
yoy
n
ta kichik
A
i–
1
A
i
(
i
=1, 2, ∙∙∙,
n
)
yoychalarga ajraladi.
Agar
AB
yoy uzunligi
l
va
A
i–
1
A
i
(
i
=1, 2, ∙∙∙,
n
) yoychalar uzunliklari Δ
l
i
deb olsak, unda
n
i
i
l
l
1
deb yozish mumkin. Endi kichik
A
i–
1
A
i
(
i
=1, 2, ∙∙∙,
n
) yoychalarni ularning vatari , ya’ni
A
i–
1
A
i
kesmalar bilan almashtiramiz. To‘g‘ri burchakli
A
i–
1
A
i
D
uchburchakda
|
A
i–
1
D
|
= x
i
–x
i–
1
=Δ
x
i
, |
A
i
D
|
=f
(
x
i
)
–f
(
x
i–
1
)=Δ
f
(
x
i
)
katetlar bo‘yicha
A
i–
1
A
i
gipotenuza uzumligini Pifagor teoremasidan foydalanib topamiz:
i
i
i
i
i
i
i
i
i
x
x
x
f
x
f
x
D
A
D
A
A
A
2
2
2
2
2
1
1
)
(
1
))
(
(
)
(
.
Bu yerda Δ
l
i
≈
|
A
i–
1
A
i
| deb, izlanayotgan yoy uzunligi
l
uchun ushbu taqribiy tenglikni hosil etamiz:
n
n
i
i
i
i
n
i
i
i
n
i
i
L
x
x
x
f
A
A
l
l
1
2
1
1
1
)
(
1
.
Bu taqribiy tenglikdan aniq tenglikka o‘tish uchun
n
→∞, Δ
n
→0 deb olamiz. Bu holda, hosila
ta’rifiga asosan,
)
(
)
(
i
i
i
x
f
x
x
f
deb olish mumkin. Shu sababli yuqoridagi
L
n
yig‘indini
2
)]
(
[
1
x
f
funksiya uchun [
a
,
b
] kesma
bo‘yicha integral yig‘indi deb qarash mumkin. Unda, aniq integral ta’rifiga asosan, izlanayotgan
yoy uzunligi
l
uchun quyidagi formulani hosil etamiz:
b
a
n
i
i
i
i
n
n
n
dx
x
f
x
x
x
f
L
l
n
n
2
1
2
0
,
0
,
)]
(
[
1
)
(
1
lim
lim
. (6)
Misol sifatida
y
=lnsin
x
egri chiziqning
x
=π/3 va
x
=π/2 abssissali nuqtalari orasidagi
yoyining uzunligini topamiz. Bunda
y
′=ctg
x
ekanligidan va universal almashtirmadan foydalanib,
(6) formulaga asosan, ushbu natijani olamiz:
1
4
,
3
1
6
1
2
,
1
2
sin
,
2
sin
1
1
)
(
1
2
2
2
/
3
/
2
/
3
/
2
2
/
3
/
2
2
/
3
/
2
g
g
g
ctg
ctg
t
t
t
dt
dx
t
t
x
x
t
t
x
dx
dx
x
dx
x
dx
y
l
3
ln
ln
1
2
2
1
1
3
/
1
2
1
3
/
1
2
t
t
dt
t
t
.
Agar egri chiziq
x=
φ
(
t
) ,
y=
ψ
(
t
) (
t
[
α
,
β
]) parametrik tenglamasi bilan berilgan bo‘lsa, unda
dx=
φ
′(
t
)
dt
,
dy=
ψ
′(
t
)
dt
va
)
(
)
(
)
(
t
t
dx
dy
x
f
bo‘lgani uchun (6) formula quyidagi ko‘rinishga keladi:
dt
t
t
dt
t
t
t
l
2
2
2
)]
(
[
)]
(
[
)
(
]
))
(
)
(
[
1
. (7)
Misol sifatida
x=e
t
cos
t
,
y=e
t
sin
t
(
t
[0,lnπ]) parametrik tenglamasi bilan berilgan egri chiziq
yoyi uzunligini topamiz. Bunda
x
′=φ′(
t
)=
e
t
(cos
t–
sin
t
) ,
y
′=ψ′(
t
)=
e
t
(cos
t+
sin
t
)
bo‘lgani uchun, (7) formulaga asosan, quyidagi javobga ega bo‘lamiz:
)
1
(
2
2
)]
sin
(cos
[
)]
sin
(cos
[
ln
0
ln
0
2
2
t
t
t
e
dt
t
t
e
t
t
e
l
.
Do'stlaringiz bilan baham: |
