Microsoft Word Олий матем 2-cem. Ma'Ruza маътинлари docx

Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning limiti. 
Bir o‘zgaruvchili 
y=f
(
x
) funksiyalar nazariyasida limit 
tushunchasi muhim ahamiyatga ega ekanligini ko‘rib o‘tgan edik. Shu sababli bu tushunchani ko‘p 
o‘zgaruvchili funksiyalar uchun ham kiritish maqsadga muvofiqdir.
 
6-TA’RIF: 
Berilgan 
M
0
(
x
0
,
y
0
) nuqtaning
 r radiusli atrofi
dеb tekislikdagi
r
y
y
x
x




2
0
2
0
)
(
)
(
tengsizlikni qanoatlantiradigan 
M
(
х
,
у
) nuqtalar to‘plamiga aytiladi. 
Ta’rifdan ko‘rinadiki, 
M
0
(
x
0
,
y
0
) nuqtaning
 
r
radiusli atrofi markazi shu nuqtada joylashgan va radiusi 
r
bo‘lgan ochiq doiradan [uni 
U
r
(
x
0
,
y
0
) kabi belgilaymiz] iborat bo‘ladi. Demak, 
M
(
x
,
y
)

U
r
(
x
0
,
y
0
) bo‘lishi 
uchun undan 
M
0
(
x
0
,
y
0
) nuqtagacha masofa 
d
(
M
,
M
0
)<
r
shartni qanoatlantirishi kerak.
7-TA’RIF: 
Biror chekli 
A
soni ikki o‘zgaruvchili 
z
=
f
(
x
,
y
) funksiyaning uning argumentlari 
x
→
x
0 
, 
y
→
y
0
( yoki 
М
(
х
,
у
)

M
0
(
x
0
,
y
0
)) bo‘lgandagi 
limiti
deb aytiladi, agar har qanday kichik 

>0 soni uchun unga 
bog‘liq shunday
r
(

)=
r
>0 son topilsaki, 
M
0
(
x
0
,
y
0
) nuqtaning
 
r=r
(

) radiusli atrofiga tegishli bo‘lgan barcha 
M
(
x,y
)≠
 M
0
(
x
0
,
y
0
) nuqtalar uchun



|
)
,
(
|
A
y
x
f
tengsizlik bajarilsa.
Ikki o‘zgaruvchili 
f
(
x
,
y
) funksiyaning 
x
→
x
0 
, 
y
→
y
0
holdagi limiti 
A
M
f
A
y
x
f
M
M
y
y
x
x





)
(
lim
)
,
(
lim
0
0
0
yoki
kabi belgilanadi. 
Masalan, 




















)
1
1
)(
1
1
(
)
1
1
)(
(
lim
1
1
lim
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
2
2
2
2
0
0
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
2
)
1
1
(
lim
)
(
)
1
1
)(
(
lim
2
2
0
0
2
2
2
2
2
2
0
0


















y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
. 
Ikki o‘zgaruvchili 
z
=
f
(
x
,
y
) funksiya uchun 
М
(
х
,
у
)

M
0
(
x
0
,
y
0
) bo‘lganda 
A
limitni mavjud bo‘lishi va 
uni hisoblash masalasi bir o‘zgaruvchili funksiya holiga nisbatan ancha murakkab bo‘ladi. Bunga sabab 
shuki to‘g‘ri chiziqda 
x
→
x
0
intilish faqat ikki yo‘nalishda, o‘ng va chap tomondan bo‘lishi mumkin. 
Tekislikda esa 
М
(
х
,
у
)

M
0
(
x
0
,
y
0
) intilish cheksiz ko‘p yo‘nalishda amalga oshirilishi mumkin va bularning 
har birida 
z
=
f
(
x
,
y
) funksiya bir xil 
A
soniga yaqinlashib borishi kerak. Buni bir necha misollarda ko‘ramiz. 
1-misol. 
2
2
2
)
,
(
y
x
xy
y
x
f


funksiya 
x
→
0, 
y
→
0 bo‘lganda limitga ega, chunki ma’lum 
x
2
+
 
y
2
≥2|
x
||
y
| tengsizlikka asosan 

---

0
lim
)
,
(
lim
2
2
)
,
(
2
2
2
0
0
0
0
2
2
2
2












y
x
xy
y
x
f
y
y
x
xy
y
x
xy
y
x
f
y
x
y
x
 . 
2-misol.
2
2
)
,
(
y
x
xy
y
x
f


funksiya 
x
→
0, 
y
→
0 bo‘lganda limitga ega emasligini ko‘rsatamiz. 
Buning uchun 
y=kx
deb olamiz, ya’ni O(0,0) nuqtaga to‘g‘ri chiziqlar bo‘yicha yaqinlashamiz. Bu holda 
2
2
2
2
2
0
2
2
0
0
0
0
1
lim
lim
)
,
(
lim
k
k
x
k
x
kx
y
x
xy
y
x
f
x
y
x
y
x











. 
Bu yerdan ko‘rinadiki limit qiymati barcha 
k
uchun bir xil bo‘lmasdan, 
k
o‘zgarishi bilan u ham o‘zgaradi va 
shu sababli bu limit mavjud emas. 
3-misol.
2
4
2
)
,
(
y
x
y
x
y
x
f


funksiyaning
x
→
0, 
y
→
0 holda limiti qanday bo‘lishini tekshiramiz. 
Bunda 
y=kx
deb olsak 
0
lim
lim
lim
)
,
(
lim
2
2
0
2
2
4
3
0
2
4
2
0
0
0
0













k
x
kx
x
k
x
kx
y
x
y
x
y
x
f
x
x
y
x
y
x
. 
Demak, O(0,0) nuqtaga ixtiyoriy to‘g‘ri chiziqlar bo‘yicha yaqinlashganimizda limit qiymati bir xil va nolga 
teng. Ammo hali bundan berilgan limit mavjud va uning qiymati nol deya olmaymiz, chunki bu natija 
ixtiyoriy yo‘nalish bo‘yicha bir xil bo‘lishi kerak. Masalan, 
y=kx
2
, ya’ni parabola bo‘yicha yaqinlashishni 
qaraymiz: 
2
4
2
4
4
0
2
4
2
0
0
0
0
1
lim
lim
)
,
(
lim
k
k
x
k
x
kx
y
x
y
x
y
x
f
x
y
x
y
x











. 
Bu holda limit qiymati 
k 
qiymatiga bog‘liq bo‘lmoqda. Demak,qaralayotgan funksiyaning 
x
→
0, 
y
→
0 
bo‘lganda limiti mavjud emas ekan. 
Yuqorida 7-ta’rif orqali aniqlangan limitda funksiyaning ikkala argumenti 
x 
va 
y
bir paytda 
x
0
 
va 
y
0
sonlariga intiladi deb olamiz va bunda 
A
y
x
f
y
y
x
x



)
,
(
lim
0
0
karrali limit
deb yuritiladi. Ammo bu yerda 
x 
yoki 
y
argumentlarni u yoki bu tartibda 
x
0
 
yoki 
y
0
sonlariga 
ketma-ket yaqinlashtirib, 
2
,
1
)
,
(
lim
lim
)
,
(
lim
lim
0
0
0
0
A
y
x
f
A
y
x
f
x
x
y
y
y
y
x
x






limitlarni ham hosil etish mumkin. Bular
 takroriy limitlar
deb ataladi va ularni hisoblash osonroq.
4-misol. 
f
(
x
,
y
)=3
x
+5
xy
–
y
2
funksiyaning 
x
→
2, 
y
→
–
3 holdagi takroriy limitlarini qaraymiz : 
1
2
2
3
2
3
2
33
)
9
15
3
(
lim
)
5
3
(
lim
lim
)
,
(
lim
lim
A
x
x
y
xy
x
y
x
f
x
y
x
y
x
















, 
2
2
3
2
2
3
2
3
33
)
10
6
(
lim
)
5
3
(
lim
lim
)
,
(
lim
lim
A
y
y
y
xy
x
y
x
f
y
x
y
x
y

















. 
Demak, bu funksiya uchun ikkala takroriy limit mavjud va ular o‘zaro teng. 
5-misol. 
Ushbu funksiyaning 
x
→
0, 
y
→
0 holdagi takroriy limitlarini hisoblaymiz: 
y
x
y
x
y
x
y
x
f





2
2
)
,
(
. 
1
0
2
0
2
2
0
0
0
0
1
)
1
(
lim
lim
lim
lim
)
,
(
lim
lim
A
x
x
x
x
y
x
y
x
y
x
y
x
f
x
x
y
x
y
x

















, 
2
2
0
2
2
0
0
0
0
1
lim
lim
lim
)
,
(
lim
lim
A
y
y
y
y
x
y
x
y
x
y
x
f
y
x
y
x
y
















. 
Demak, bu funksiya uchun ikkala takroriy limit mavjud, ammo ular o‘zaro teng emas. 
Yuqoridagi misollardan ko‘rinadiki takroriy limitlar doimo o‘zaro teng bo‘lishi shart emas ekan. 
Bundan tashqari karrali va takroriy limitlar orasida qanday munosabat mavjudligini ham umumiy holda aytib 
bo‘lmaydi. Bunday hollarda quyidagi teoremadan foydalanish mumkin. 
1-TEOREMA:
Berilgan 
z
=
f
(
x
,
y
) funksiya 
M
0
(
x
0
,
y
0
) nuqtaning biror
U
r
(
x
0
,
y
0
) atrofida aniqlangan va 
karrali limit 

---

A
y
x
f
y
y
x
x



)
,
(
lim
0
0
mavjud bo‘lsin. Agar ixtiyoriy 
M
(
x
,
y
)

U
r
(
x
0
,
y
0
) uchun
)
,
(
lim
)
(
,
)
,
(
lim
)
(
0
0
y
x
f
x
y
x
f
y
y
y
x
x






oddiy limitlar mavjud bo‘lsa, unda ikkala takroriy limit 
)
(
lim
)
,
(
lim
lim
,
)
(
lim
)
,
(
lim
lim
0
0
0
0
0
0
2
1
y
y
x
f
A
x
y
x
f
A
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x












mavjud va 
A
1
= 
A
2
= 
A
tenglik o‘rinli bo‘ladi. 
Bu teoremani isbotsiz qabul etamiz. 
Ammo takroriy limitlar mavjudligi va ularning o‘zaro tengligidan karrali limitning mavjudligi va 
A
1
= 
A
2
= 
A
tenglik o‘rinli bo‘lishi kelib chiqmaydi. Masalan, yuqorida ko‘rilgan 2-misolda 
A
1
= 
A
2
=0, ammo 
karrali limit mavjud emas.
Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning limiti uchun bir o‘zgaruvchili funksiya limitining oldin ko‘rib o‘tilgan 
barcha xossalari (VII bob, §3, asosiy teorema) saqlanib qolishini ushbu teorema ko‘rsatadi. 
2-TEOREMA:
Agar 
z=f
(
x
,
y
) va 
z=g
(
x
,
y
) funksiyalarning ikkalasi ham 
M
0
(
x
0
,
y
0
) nuqtaning biror
U
r
(
x
0
,
y
0
) atrofida aniqlangan va ularning karrali limitlari 
B
y
x
g
A
y
x
f
y
y
x
x
y
y
x
x






)
,
(
lim
,
)
,
(
lim
0
0
0
0
mavjud bo‘lsa, unda quyidagi tengliklar o‘rinli bo‘ladi: 
CA
y
x
f
C
y
x
Cf
const
C
C
C
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x










)
,
(
lim
)
,
(
lim
.),
(
lim
0
0
0
0
0
0
, 
B
A
y
x
g
y
x
f
y
x
g
y
x
f
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x











)
,
(
lim
)
,
(
lim
)]
,
(
)
,
(
[
lim
0
0
0
0
0
0
, 
AB
y
x
g
y
x
f
y
x
g
y
x
f
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x










)
,
(
lim
)
,
(
lim
)]
,
(
)
,
(
[
lim
0
0
0
0
0
0
, 
).
0
)
,
(
lim
(
)
,
(
lim
)
,
(
lim
)
,
(
)
,
(
lim
0
0
0
0
0
0
0
0












B
y
x
g
B
A
y
x
g
y
x
f
y
x
g
y
x
f
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
Bu teorema yuqorida eslatilgan teorema singari isbotlanadi va shu sababli uning ustida to‘xtalib o‘tirmaymiz.
Masalan, bu teorema asosida ushbu karrali limitlarni hisoblaymiz: 

















1
lim
5
lim
3
lim
)
1
5
3
(
lim
)
,
(
lim
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
f
,
14
1
2
5
1
3
1
lim
lim
5
lim
3
2
1
2
1













y
x
y
x
y
x
2
1
)
2
(
lim
)
1
3
5
2
(
lim
2
1
3
5
2
lim
)
,
(
lim
3
2
0
0
0
0
3
2
0
0
0
0





















y
x
y
xy
x
y
x
y
xy
x
y
x
f
y
x
y
x
y
x
y
x
. 
Ikki o‘zgaruvchili 
z= f
(
x
,
y
) funksiyaning karrali limiti ta’rifini 
x
→±∞ , 
y
→±∞ yoki 
A=
±∞ hollar uchun 
ham berish mumkin, ammo ular ustida to‘xtalib o‘tirmaymiz.