Microsoft Word Олий матем 2-cem. Ma'Ruza маътинлари docx

1.1.
 
Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning uzluksizligi.
Bir o‘zgaruvchili
y=f
(
x
) funksiyalar uchun limit 
tushunchasi kiritilgach, uning yordamida funksiyaning uzluksizlik ta’rifi berilgan edi. Bu tushunchani ko‘p 
o‘zgaruvchili funksiyalar uchun ham kiritish mumkin. 
8-TA’RIF:
M
0
(
x
0
,
y
0
) nuqta
z
=
f
(
x
,
y
) funksiyaning D{
f
} aniqlanish sohasidagi biror nuqta bo‘lib, 
o‘zgaruvchi 
М
(
х
,
у
) nuqta funksiyaning aniqlanish sohasida qolgan holda
M
0
(
x
0
,
y
0
) nuqtaga ixtiyoriy 
usulda intilganda (
M
→
M
0
bo‘lganda)
)
(
)
(
lim
)
,
(
)
,
(
lim
0
0
0
0
0
0
M
f
M
f
y
x
f
y
x
f
M
M
y
y
x
x





yoki
(2) 
tеnglik o‘rinli bo‘lsa,
z
=
f 
(
x,
y
) funksiya M
0
(
x
0
,
y
0
) nuqtada 
uzluksiz 
deyiladi. Bu holda M
0
(
x
0
,
y
0
) 
funksiyaning 
uzluksizlik nuqtasi
deyiladi. Biror 
D
sohaning har bir nuqtasida uzluksiz bo‘lgan funksiya shu
sohada uzluksiz
deyiladi.

---

Masalan, 
f
(
x
,
y
)=2
x
2
+3
xy–
5
y
2
funksiya tekislikdagi barcha nuqtalarda aniqlangan va ularning har birida 
uzluksizdir. Demak, bu funksiya butun tekislikda uzluksiz. Xuddi shunday, 
2
2
9
4
36
)
,
(
y
x
y
x
f



funksiya D{
f
}={(
x
,
y
): (
x
/3)
2
+(
y
/2)
2
≤1}aniqlanish sohasida, ya’ni yarim o‘qlari 
a
=3, 
b
=2 bo‘lgan ellips va 
uning ichida uzluksiz bo‘ladi.
Geometrik nuqtayi nazardan biror 
D
sohada uzluksiz 
z
=
f 
(
x,
y
) funksiya XOY koordinata tekisligidagi 
proyeksiyasi shu sohadan iborat bo‘lgan yaxlit bir sirtni ifodalaydi. Shu sababdan tekislik, sfera, uzluksiz 
chiziqni OX o‘qi atrofida aylantirishdan hosil bo‘lgan aylanma sirt kabilarni ifodalovchi ikki o‘zgaruvchili 
funksiyalar uzluksiz bo‘ladi. 
Endi 
z
=
f
(
x
,
y
) funksiyaning 
M
0
(
x
0
,
y
0
) nuqtada uzluksizligini boshqa bir ta’rifini keltiramiz. Agar 
М
(
х
,
у
)
o‘zgaruvchi nuqta bo‘lsa, unda ∆
x=x–x
0
va ∆
y=y–y
0
ayirmalar mos ravishda 
x
va 
y
argumentlarning 
o‘zgarishlarini ifodalaydi hamda 
argument orttirmalari
deyiladi. Bu holda 
x=x
0
+∆
x
, 
y=y
0
+∆
y 
deb yozish 
mumkin. Bunda 
z
=
f
(
x
,
y
) funksiyaning o‘zgarishi 
∆
z=
∆
f=f
(
x
,
y
)
– f
(
x
0
,
y
0
)=
 f
(
x
0
+∆
x
,
y
0
+∆
y
)
 – f
(
x
0
,
y
0
) (3) 
ayirma orqali aniqlanadi va u funksiyaning 
to‘la orttirmasi
deb ataladi. Orttirmalar tilida (2) tenglikdagi
x
→
x
0 
, 
y
→
y
0
munosabatlardan ∆
x
→
0 , ∆
y
→
0 ekanligi kelib chiqadi. Shu sababli (2) tenglikni 
0
lim
0
0






f
y
x
(4)
ko‘rinishda ifodalash mumkin. Bu 
z
=
f
(
x
,
y
) funksiya uzluksizligini orttirmalar tilidagi ifodasidir. Undan 
uzluksiz funksiyada 
x
va 
y
argumentlar qanchalik kichik o‘zgarishga ega bo‘lsa, funksiya ham shunchalik 
kichik o‘zgarishga ega bo‘lishi kelib chiqadi. Amaliy masalalarda
 z
=
f
(
x
,
y
) funksiya uzluksizligini (4) tenglik 
bilan aniqlash osonroq bo‘ladi. 
Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning uzluksizligi ta’rifini ifodalovchi (2) tenglikdan va limit xossalarini 
ifodalovchi 2-teoremadan bevosita quyidagi teorema kelib chiqadi. 
3-TEOREMA:
Agar 
f
(
x
,
y
) va 
g
(
x
,
y
) funksiyalar 
M
0
(
x
0
,
y
0
) nuqtada uzluksiz bo‘lsa, unda shu nuqtada 
C
f
(
x
,
y
) (
C
-const.), 
f
(
x
,
y
)±
g
(
x
,
y
), 
f
(
x
,
y
)ꞏ
g
(
x
,
y
) va 
g
(
x
,
y
)≠0 qo‘shimcha shartda 
f
(
x
,
y
)/
g
(
x
,
y
) funksiyalar ham 
uzluksiz bo‘ladi. 
Bu teoremadan foydalanib murakkabroq ko‘rinishdagi funksiya uzluksizligini tekshirish masalasini 
soddaroq ko‘rinishdagi funksiyalarning uzluksizligini tekshirish masalasiga keltirish mumkin. Masalan, 
)
,
(
)
,
(
1
3
2
4
2
2
4
3
2
2
3
y
x
g
y
x
f
y
y
x
x
y
y
x
x
z







funksiyada 
f
(
x
,
y
) va 
g
(
x
,
y
) tekislikdagi barcha nuqtalarda uzluksiz, 
g
(
x
,
y
)≠0 (hatto 
g
(
x
,
y
)≥1) ekanligidan uni 
butun tekislikda uzluksizligi teoremadan kelib chiqadi. 
Yuqoridagi 8-ta’rifda ikki o‘zgaruvchili
z
=
f
(
x
,
y
) funksiyaning ikkala 
x 
va 
y
argumentlari bo‘yicha 
uzluksizligi qaralgan edi. Bu yerda funksiyaning alohida har bir argumenti bo‘yicha uzluksizligini qarash 
mumkin. Buning uchun dastlab funksiyaning xususiy orttirmasi tushunchasini kiritamiz. 
9-TA’RIF:
Berilgan 
z
=
f
(
x
,
y
) funksiya uchun argumentlarning ∆
x 
va ∆
y 
orttirmalarida 
)
,
(
)
,
(
,
)
,
(
)
,
(
0
0
0
0
0
0
0
0
y
x
f
y
y
x
f
f
y
x
f
y
x
x
f
f
y
x










(5) 
ayirmalar mos ravishda funksiyaning 
x 
va 
y
argumentlari bo‘yicha 
M
0
(
x
0
,
y
0
) nuqtadagi 
xususiy orttimalari
deb ataladi. 
(3) tenglik bilan aniqlangan ∆
f 
orttirma funksiyaning ikkala 
x 
va 
y
argumentlari bo‘yicha o‘zgarishini 
ifodalaydi va shu sababli to‘la orttirma deyiladi. (5) tenglik bilan aniqlangan ∆
x
 f 
yoki ∆
y
 f 
orttirmalar esa 
funksiyaning faqat 
x 
(bunda 
y
o‘zgarmas) yoki 
y
argumenti bo‘yicha (bunda 
x
o‘zgarmas) o‘zgarishini 
ifodalaydi va shu sababli xususiy orttirma deyiladi. 
Masalan, 
f
(
x
,
y
)=
x
2
+3
xy
–4
y
funksiya uchun ixtiyoriy 
M
(
x
,
y
) nuqtada to‘la va xususiy orttirmalarni 
topamiz: 



















)]
(
4
)
)(
(
3
)
[(
)
,
(
)
,
(
2
y
y
y
y
x
x
x
x
y
x
f
y
y
x
x
f
f
y
y
x
x
y
y
x
x
x
x
y
xy
x
















4
]
[
3
)
(
2
]
4
3
[
2
2
, 
















]
4
3
[
]
4
)
(
3
)
[(
)
,
(
)
,
(
2
2
y
xy
x
y
y
x
x
x
x
y
x
f
y
x
x
f
f
x
x
xy
x
x
x






3
)
(
2
2
, 
















]
4
3
[
]
(
4
)
(
3
[
)
,
(
)
,
(
2
2
y
xy
x
y
y
y
y
x
x
y
x
f
y
y
x
f
f
y
y
y
x




4
3
. 
10-TA’RIF:
Berilgan 
z
=
f
(
x
,
y
) funksiya uchun 
M
0
(
x
0
,
y
0
) nuqtada
0
lim
0
lim
0
0








f
f
y
y
x
x
yoki
(6) 

---

tengliklar bajarilsa, unda bu funksiya 
M
0
(
x
0
,
y
0
) nuqtada
 
x yoki y argumenti bo‘yicha uzluksiz
deyiladi . 
Masalan, yuqorida ko‘rilgan 
f
(
x
,
y
)=
x
2
+3
xy
–4
y
funksiya uchun ixtiyoriy 
M
(
x
,
y
) nuqtada (6) shartlar bajariladi. 
Demak, bu funksiya butun tekislikda 
x 
va 
y
argumentlari bo‘yicha uzluksizdir. 
Agar 
z
=
f
(
x
,
y
) funksiya 
M
0
(
x
0
,
y
0
) nuqtada ikkala argumentlari bo‘yicha uzluksiz bo‘lsa, unda bu 
nuqtada har bir argumenti bo‘yicha ham uzluksiz bo‘ladi, chunki (4) tenglikdan (6) tengliklar xususiy hol 
sifatida kelib chiqadi. Ammo teskari tasdiq o‘rinli bo‘lishi shart emas. Masalan, 










0
,
0
,
0
,
)
,
(
2
2
2
2
2
2
y
x
y
x
y
x
xy
y
x
f
(7) 
funksiyani O(0,0) nuqtada uzluksizlikka tekshiramiz. Bunda 
0
lim
0
0
)
(
0
)
0
,
(
)
0
,
0
(
)
0
,
0
(
0
2
2


















f
x
x
x
f
f
x
f
f
x
x
x
, 
0
lim
0
)
(
0
0
)
,
0
(
)
0
,
0
(
)
0
,
0
(
0
2
2


















f
y
y
y
f
f
y
f
f
y
y
y
. 
Demak, bu funksiya O(0,0) nuqtada 
x 
va 
y
argumentlari bo‘yicha uzluksiz . Ammo 
y=kx
(
k
≠0)) deb 
olsak, unda 
)
0
,
0
(
0
1
1
lim
)
(
lim
lim
)
,
(
lim
2
2
0
2
2
0
2
2
0
0
0
0
f
k
k
k
k
kx
x
kx
x
y
x
xy
y
x
f
x
x
y
x
y
x

















. 
Demak, bu funksiya O(0,0) nuqtada ikkala 
x 
va 
y
argumentlari bo‘yicha uzluksiz emas. 
11-TA’RIF:
Agar biror 
M
0
(
x
0
,
y
0
) nuqtada (2) tеnglik bajarilmasa, bu nuqtada berilgan z=
f
(
x
,
y
) 
funksiya