Mavzu: ba’zi irratsional funksiyalarni integrallash

MAVZU: BA’ZI IRRATSIONAL FUNKSIYALARNI INTEGRALLASH.
I Kirish
II Asosiy qism

1. 
   Integrallash haqida umumiy tushunchalar
   
2. 
   Irratsional funksiyalar Integrallash
   
3. 
   Trigonometrik funksiyalar Integrallash
   

III Xulosa
IV Foydalanilgan adabiyotlar

Kirish
Oldingi boblarda differensiallanuvchi har qanday elementar funksiyaning hosilasini hosilalar jadvali va differensiallash qoidalari yordamida topish mumkin ekanligini ko‘rib o‘tgan edik. Bunda elementar funksiyaning hosilasi yana elementar funksiyadan iborat bo‘ladi. Endi berilgan funksiyani integrallash masalasiga kelsak, vaziyat ancha murakkab bo‘ladi. Bunda berilgan elementar funksiya uchun boshlang‘ich funksiya (aniqmas integral) mavjudligini aniqlash bir masala bo‘lib (bu masala yechimi keyinroq keltiriladi), integral mavjudligi ma’lum taqdirda uni hisoblash ancha qiyin muammo bo‘ladi. Bundan tashqari bir qator elementar funksiyalarning aniqmas integrali elementar funksiyalar orqali ifodalanmaydi. Bu integrallar bilan aniqlanadigan funksiyalar maxsus funksiyalar deb ataladi va ular turli amaliy masalalarni yechishda qo‘llaniladi. Masalan, I1 orqali aniqlanadigan maxsus funksiya Puasson (farang olimi, 1781 - 1840) integrali deb ataladi va ehtimolliklar nazariyasida, diffuziya va issiqlik o‘tkazish masalasini o‘rganishda keng qo‘llaniladi. I2 Frenel (farang fizigi va matematigi, 1788 - 1827) integrali deyiladi va optika masalalarini yechishda juda ko‘p qo‘llaniladi. I3 va I4 mos ravishda integral logarifm va integral sinus deb ataladi. Shunday qilib, aniqmas integralni hisoblashning umumiy usuli mavjud bo‘lmasdan, har bir integral o‘ziga xos bir usulda topilishi mumkin. Ammo ma’lum bir hollar uchun integralni hisoblash usullari ishlab chiqilgan va ular bilan tanishishga o‘tamiz.


Irratsional funksiyadan olingan integral hamma vaqt ham elementar funksiyalar orqali ifodalanavermaydi. Irratsional funksiyalarni integrallashda o’zgaruvchilarni almashtirish yordamida ularni ratsional funksiyalarni integrallashga keltiramiz.
 ko'rinishdagi integralni qaraymiz. Aytaylik, soni  kasrlarning umumiy mahraji bo’lsin.  almashtirish qilamiz. U holda, har bir kasr ko’rsatkichli daraja butun ko’rsatkichli darajaga almashadi va natijada, integral ostidagi funksiya ning ratsional funksiyasidan iborat bo’ladi. Endi  ko’rinishdagi integralni qaraymiz. Bu integral


almashtirish bilan ratsional funksiyani integrallashga keltiriladi. Bu yerda soni
soni  kasrlarning umumiy mahraji.
Ba’zi hollarda   ko’rinishdagi aniqmas integrallar ham uchraydi. Bunday integrallar Eyler almashtirishlari deb ataluvchi quyidagi almashtirishlar yordamida ratsional funksiyani integrallashga keltiriladi.
Eylerning birinchi almashtirishi. Agar  bo’lsa,
 almashtirish qilamiz. U holda bo’ladi. Bundan x ni t ning ratsional funksiyasi sifatida aniqlaymiz.


Bu yerda  ham ning ratsional funksiyasidan iborat bo’ladi. Shunday qilib  bo’lib u t ni ratsional funksiyasi bo’ladi.
Eylerning ikkinchi almashtirishi. Agar  bo’lsa,  almashtirish qilamiz. Oxirgi tenglikni har ikkala tomonini kvadratga ko’tarsak  tenglik hosil bo’ladi. Bu ifodadan oldida plyus ishorani olib х ni topamiz,



dx va  larni t orqali ifodalab berilgan integralga , x dx va  ning t orqali qiymatlarini qo’ysak integral ratsionallashadi.
va  kvadrat uchhadning haqiqiy ildizlari bo’lganda


almashtirishni olamiz. U holda   bo’lgani uchun

 tenglik hosil bo’ladi. Bu tenglikni kvadratga ko’tarib x o’zgaruvchini topamiz va bundan  kelib chiqadi. dx va  larni t orqali ifodalab berilgan integralga , x dx va  ning t orqali qiymatlarini qo’ysak integral ratsionallashadi.