Eng sodda trigonometrik tenglamalar Reja

Eng sodda trigonometrik tenglamalar

Reja:

1. ko`rinishdagi eng soda tenglama. Arksinus.

2. ko`rinishdagi eng soda tenglama. Arkkosinus.

3. va ko`rinishdagi eng soda tenglamalar. Arktangens va Arkkotangens.

4. Tenglamalarni yechishning asosiy usullari.

Noma`lum son faqat trigonometri funksiyaning argumenti sifatida qatnashgan tenglama (tengsizlik) trigonometrik tenglama (trigonometrik tengsizlik) deyiladi. , , , ko`rinishdagi tenglamalar eng soda trigonometrik tenglamalar deyiladi. Bu tengla-malarda tenglik belgisi bilan almashtirilsa, eng sodda trigonometrik tengsizliklar hosil bo`ladi.

Odatta trigonometrik tenglamalarni (tengsizliklarni) yechish bitta yoki bir nechta eng sodda trigonometrik tenglamalarni (tengsizlillarni) yechishga keltiriladi.

sinα=m ko`rinishdagi eng soda tenglama. Arksinus.

tenglamani yechishbirlik aylanadagi shunday nuqtani topishdan iboratki, uning ordinatasi m gat eng bo`lishi kerak. Buning uchun gorizontal diametrga parallel bo`lgan y=m to`g`ri chiziq bilan birlik aylananing kesishish nuqtalarini:

1. 
   agar bo`lsa, y=m to`g`ri chiziq aylanani kesmay, undan yuqori yoki quyidan o`tadi . Demak, bu holda tenglama echimga ega emas;
   
2. 
   agar bo`lsa, to`g`ri chiziq aylanaga yo yuqoridagi nuq-tada yoki quyidagi nuqtada urilib o`tadi (16-rasm). Bu holda tenglama yagona ildizga ega: yoki . Agar funksiya asosiy davri ham e`tiborga olinsa, yechimni ko`rinishda yozish mumkin.
   
3. 
   bo`lsa, y=m to`g`ri chiziq aylanada va nuqtalarda kesadi. Demak, tenglamalarning yechimi shu nuqtalarning koordinatalari bo`lgan barcha sonlar to`plamlarining birlashmasi bo`ladi:
   

Yechimni ; ko`rinishda ham yozish mumkin. Yechimning geometrik tahlilida y=m to`g`ri chiziq bilan sinusoidaning kesishish nuqtasi haqida ham gapirish mumkin.

Misol. tenglamani yeching.

Yechish. to`g`ri chiziq koordinatali aylanani va nuqtalarda kesadi (15-rasm). B₁ nuqta barcha sonlar to`plamiga, B<sub>2</sub>nuqta esa barcha ko`rinishdagi sonlar to`plamiga mos. Barcha yechimlar to`plamini

; yoki ko`rinishda yozish mumkin. oraliqqa tegishli bo`lgan yagona x₀ yechimga ega. tenglamani qanoatlantiruvchi soni m sonning arksinusi deyiladi va arcsinm orqali belgilanadi. Ta`rifga ko`ra

sin(arcsinm)=m (1) va (2) bo`ladi.

aksincha, va bo`lsa, bo`ladi. y=m va sonlari orasidagi bog`lanish ayon bo`ladi. va . demak, (3)

Shunday qilib, bo`lgan holda tenglamaning yechimi to`plamlar birlashmasi ko`rinishida yoki ; ko`rinishda yoki bu keyingi ikki formulani birlashtirib, (4) ko`rinishda yozish mumkin.

ko`rinishdagi eng soda

tenglama. Arkkosinus.

Koordinatali aylanada olingan har qaysi nuqtaning abssissasi ga teng. Shunga ko`ra berilgan m bo`yicha tenglamani yechish nuqtaning x=m abssissasi bo`yicha unga mos yoy kattaligini topishdan iborat. Uch holni qaraymiz.

1-hol. da x=m vertical to`g`ri chiziq aylanani kesmaydi.

Bu holda tenglama yechimga ega emas. Masalan, tenglama yechimga ega emas, chunki .

2-hol. Agar bo`lsa, to`g`ri chiziq aylanani faqat bir nuqtada, ya`ni A(1;0) nuqtada, yoki D(-1;0) nuqtada kesadi (19-rasm). A nuqtaning aylana bo`yicha koordinatasi . Shunga ko`ra ning yechimi, sonlar to`plami bo`ladi. D(-1;0)=D( ) ekani etiborga olinsa, ning yechimi sonlar to`plami bo`ladi.

3-hol. bol`sa, x=m to`g`ri chiziq aylanani ikki nuqtada kesadi . Ularning biri nuqta yuqori yarim aylanada joylashadi. son m sonning arkkosinusi deyiladi va orqali belgilanadi. Ta`rifga ko`ra va bo`ladi. Shu kabi nuqta uchun: . Bundan yoki , demak, , da tenglamalar yechimi sonlar to`plamlari birlashmasi bo`ladi. Uni (1) yoki (2) korinishda ham yozish mumkin (21-rasm). OY o`qiga nisbatan simmetrik joylashgan va nuqta-lar bo`yicha va bo`lishini aniqlaymiz.

Undan: (3) hosil qilinadi, bunda

Misol. tenglamani yeching

Yechish. ga egamiz. (3) ga ko`ra bo`ladi.

va ko`rinishdagi eng soda tenglamalar. Arktangens va Arkkotangens.

Koordinatali aylananing har bir nuqtasi Dekart koordinatalr sistemasidagi biror B(x;y) nuqta bilan ustma-ust tushushini va bilamiz. Shunga ko`ra noma`lum qatnashayotgan yoki tenglamaning barcha yechimlarini koordinatali aylana bilan , ya`ni y=mx to`g`ri chiziqning kesishish nuqtalari yordamida aniqlash mumkin. m ning har qanday qiymatida y=mx to`g`ri chiziq aylanani O(0;0) nuqtaga nisbatan simmetrik bo`lgan B₁ va B₂ nuqtalarda kesadi.

Ulardan biri o`ng yarim aylana o`tadi. Bu nuqta bo`lsin ikkinchi nuqta bo`ladi. Demak, tenglamaning barcha yechimlari to`plami va sonlar to`plamlari birlashmasidan iborat. Barcha yechimlar (1) formula bilan aniqlanadi.

m sonning arktangensi deb oraliqda yotadigan shunday songa aytiladiki, uning uchun bo`ladi. m sonning arktangensi orqali belgilanadi. Ta`rifga asosan, har qanday m son uchun quyidagi munosabatlat o`rinli bo`ladi.

, (2) Aksincha, bo`lsa, bo`ladi. Yuqoridagi shartlardan va tangens toq funksiyaligidan bo`lgani uchun quyidagi tenglik o`rinli bol`di.

(3)

Arkkotangens tushunchasi ham shu kabi kiritiladi. m sonning arkkotangensi deb, oraliqda yotadigan shunday songa aytiladiki, uning uchun bo`ladi. m sonning arkkotangensi orqali belgilanadi. Uning uchun quyidagi tenglik o`rinli.

(3)