Mexanik harakat haqida

43-§. MEXANIK ENERGIYANING SAQLANISH QONUNI

Massasi m = 1 kg li jism h₁ = 45 m balandlikdan tashlanganda uning potensial va kinetik energiyalari qanday o‘zgarishini ko‘raylik (135-rasm). Bunda erkin tushish tezlanishi g = 10 m/s².

1. 
   holat. h₁ = 45 m balandlikda jismning potensial va kinetik energiyalari quyidagicha bo‘ladi:
   

E_p1 = mgh₁; E_p1 = 1 · 10 · 45 J = 450 J;

^Ek1 ⁼
2

mυ
1 _; 2
^Ek1
₌ 1 · 0
2

2
J = 0.

m
1
₂ h₂′
3
^h₂ h₁

2. 
   holat. Balandlikdan qo‘yib yuborilgan jism erkin tushishda t = 1 s da h₂′ = gt²/2 = 10 · 1²/2 m = 5 m masofani bosib o‘tadi. Binobarin, bu vaqtda jism yerdan h₂ = h – h₂′ = 45 m – 5 m = 40 m balandlikda bo‘ladi. Bu vaqtda jismning tezligi υ₂ = gt₂ = 10 · 1 m/s = 10 m/s qiymatga erishadi. U holda h = 45 m balandlikdan tushayot- gan jismning h₂ = 40 m balandlikdagi potensial va kinetik energiyalari quyidagicha bo‘ladi:
   

E_p2 = mgh₂; E_p2 = 1 · 10 · 40 J = 400 J;

^Ek2
mυ ²
= ₂ <sup>2 ;


E</sup>k2
=^{1 · 10}2 J = 50 J.
2

h₃
4


135-rasm.

3. 
   holat. h₁ = 45 m balandlikdan tashlangan jism 2 s davo- mida 20 m masofani bosib o‘tadi. Bunda jismning yerdan balandligi h₃ = 25 m, tezligi esa υ₃ = 20 m/s ga teng bo‘la- di. Bu vaqtda jismning potensial va kinetik energiyalari qu- yidagicha bo‘ladi:
   

Jismning erkin
E = mgh ; E
= 1 · 10 · 25 J = 250 J;

tushishida energiyaning aylanishi
p3
E_k3 =
3


mυ ²
3 _;
2
p3
^Ek3


₌ 1 · 20²
2

J = 200 J.

4. 
   holat. h₁ = 45 m balandlikdan tashlangan jism 3 s da yerga yetib keladi, ya’ni jismning yerdan balandligi h₄ = 0 ga teng bo‘ladi. Jism bu vaqtda yerga υ₄ = 30 m/s tezlik bilan uriladi. Jismning yerga urilish paytidagi potensial va kinetik energiyalari quyidagicha bo‘ladi:
   

E_p4 = mgh₄; E_p4 = 1 · 10 · 0 J = 0;

E_k4 =
2

mυ
4 _; 2
E_k4 =
1 · 30²
2
J = 450 J.

Jism yuqoriga tik otilganda teskari jarayon kuzatiladi. Bunda jism yu- qoriga ko‘tarilgan sari kinetik energiyasi maksimal qiymatdan nolga qadar kamayib boradi. Jismning potensial energiyasi esa noldan maksimal qiy- matga qadar ortib boradi. Potensial energiyaning o‘zgarishi jismning faqat vertikal harakatida emas, harakat trayektoriyasi ixtiyoriy bo‘lganda ham namoyon bo‘ladi. Masalan, binoning 7-qavatida 2 kg massali jism turgan bo‘lsin. Agar binoning har bir qavati orasini 3 m dan deb olsak, 7-qavatda turgan jismning yerga, ya’ni 1-qavatga nisbatan potensial energiyasi 360 J ga teng bo‘ladi. Shu jism 3-qavatga zinadan olib tushilsa ham, liftda kelti- rilganda ham bu qavatda uning potensial energiyasi 120 J ga teng bo‘ladi. 135-rasmda tasvirlangan jismning h = 45 m balandlikdan tushish davo- mida ko‘rilgan 4 ta holatining har birida kinetik va potensial energiyalar-
ning yig‘indisi qanday bo‘ladi?
1-holatda: E_p1 + E_k1 = 450 J + 0 = 450 J.
2-holatda: E_p2 + E_k2 = 400 J + 50 J = 450 J.
3-holatda: E_p3 + E_k3 = 250 J + 200 J = 450 J.
4-holatda: E_p4 + E_k4 = 0 + 450 J = 450 J.

Bu xulosa jismni yuqoriga tik ravishda otilgandagi holatlar uchun ham o‘rinlidir. Demak, jismning maksimal kinetik energiyasi uning maksimal po- tensial energiyasiga teng.

Ma’lumki, jism kinetik energiyasining o‘zgarishi bajarilgan ishga teng. Agar balandlikdan tushayotdan jismning 1-holatdagi kinetik energiyasi E_k1, 2-holatdagisi E_k2 bo‘lsa, bajarilgan ish quyidagicha bo‘ladi:
A = E_k2 – E_k1. (1)
Shu ikki holat uchun jism potensial energiyasining o‘zgarishi ham xuddi shunday bajarilgan ishga teng, ya’ni:
A = – (E_p2 – E_p1). (2)
(1) va (2) ifodalarning chap tomonlari bir xil kattalikni ifodalagani uchun o‘ng tomonlarini tenglashtirish mumkin:
E_k2 – E_k1 = – (E_p2 – E_p1). (3)
Jismlarning o‘zaro ta’siri va harakati natijasida kinetik energiya hamda potensial energiya shunday o‘zgaradiki, ulardan birining ortishi boshqasi- ning kamayishiga teng. Ulardan biri qancha kamaysa, ikkinchisi shuncha ortadi.
(3) tenglikni quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:

E_k1 + E_p1 = E_k2 + E_p2.
(4)

Bu tenglikning chap tomoni 1-holatdagi, o‘ng tomoni esa 2-holatdagi jism- ning to‘liq mexanik energiyasini aks ettiradi. Bu tenglik mexanik energiya- ning saqlanish qonunini ifodalaydi.

Demak, bir turdagi energiya ikkinchi turga o‘tishi mumkin, lekin bunda energiya miqdori o‘zgarmaydi.
Energiyaning saqlanish qonuni quyidagicha ta’riflanadi:

136-rasm. Prujina va jismdan iborat yopiq sis- temada mexanik energi- yaning saqlanishi
Shu vaqtgacha Yerning tortish kuchi ta’siri- da jismning harakati, ya’ni Yer va jismdan ibo- rat bo‘lgan yopiq sistemadagi mexanik harakatini ko‘rdik. Mexanik energiyaning saqlanish qonuni boshqa yopiq sistemalar uchun ham o‘rinlidir. Masalan, tayanch, prujina va jismdan iborat yopiq sistemani ko‘raylik.
Tayanchga o‘rnatilgan prujinaga m massali jismni mahkamlab, uni x masofaga tortib turaylik (136-rasm). Bunda jismning kinetik energiyasi E_k1 =

1
=mυ ²/2 = 0, potensial energiyasi esa E_p1 = kx²/2 bo‘la- di. Bu yerda k – prujinaning bikirligi. Jismni qo‘yib yuborsak, u prujinaning elastiklik kuchi tufayli tezlik oladi. Jism muvozanat holatdan o‘tayotganda, ya’ni x = 0 masofada uning tezligi eng katta qiymatga

erishadi. Shunga muvofiq E_k2 = mυ₂²/2 kinetik energiyasi ham maksimal qiymatda bo‘ladi.
Prujina va jismdan iborat bunday yopiq sistema uchun ham (4) formula, ya’ni mexanik energiyaning saqlanish qonuni o‘rinli bo‘ladi.
Yuqorida prujinaning elastiklik kuchi ta’siridagi jismning harakatida jism tayanch sirtida ishqalanishsiz harakatlanadi, deb olindi.

Masala yechish namunasi
Massasi 200 g bo‘lgan jism 15 m/s tezlik bilan yuqoriga tik ravishda otildi. 1 s dan keyin jismning kinetik energiyasi va otilgan nuqtaga nisbatan potensial energiyasi qancha bo‘ladi? g = 10 m/s² deb olinsin.
Berilgan: Formulasi: Yechilishi:
m = 200 g = 0,2 kg; υ = υ₀ – at; υ = 15 m/s – 10 · 1 m/s = 5 m/s;

υ = 15 m/s;
mυ²

E = ^{0,2 · 5}2 J = 2,5 J;

2
^{0 E}_k ⁼ ₂ ^{; k} 2

;
g = 10 m/s².
h = υ t –
gt²
h = 15 · 1 – ^{10 · 1}2^{m = 10 m;}

Topish kerak:
0 ₂

E
p
= 0,2 · 10 · 10 J = 20 J.

_{Ek = ? Ep = ?} E_p = mgh.
Javob: E_k = ^{2,5 J;}
E_p = 20 J.

Agar ishqalanishli harakat bo‘lsa, jism to‘la mexanik energiyasining bir qismi issiqlik energiyasiga aylanib ketadi. Bunda jismning isib qolganligini sezish mumkin. Masalan, bir bo‘lak temirni bolg‘a bilan ursak, tepaga ko‘tarilgan bolg‘aning potensial energiyasi pastga tushish davomida tezlik olib, kinetik energiyaga aylanadi. Bolg‘a temirga urilib to‘xtagach, kinetik energiya nolga teng bo‘lib qoladi. Bunda to‘liq energiya temir bo‘lagi shaklini o‘zgartirishga, ya’ni uni deformasiyalash va qizdirishga sarflanadi.
Masala yechish namunasi
80 m balandlikdan erkin tushayotgan 1 kg massali jism balandlikning yarmini o‘tayotganida uning kinetik va potensial energiyalari nimaga teng? g = 10 m/s² deb olinsin.
Berilgan: Formulasi: Yechilishi:
h₁ = 80 m; E_p1 = mgh₁; E_p1 = 1 · 10 · 80 J = 800 J;

^{h = h1} ;


E_p2 = mgh₂;
⁸⁰ m = 40 m;

2 ₂
^Ek1
+ E_p1
= E_k2
+ E_p2
h₂ = ₂

g = 10 m/s².



tenglikda E_k1
= 0:
^Ep2
= 1 · 10 · 40 J = 400 J;

Topish kerak: E_p2 = ? E_k2 = ?
E_k2 = E_p1 – E_p2.
E_k2 = 800 J – 400 J = 400 J.
Javob: E_p2 = 400 J; E_k2 = 400 J.