Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Вычислительные методы на эвм»

2.2. Модифицированный метод Эйлера 
Запишем уравнение прямой выходящей из точки (x
i
,y
i
) с наклоном, 
равным наклону интегральной кривой в середине отрезка [x
i
, x
i+1
]. На 
рис.3. этой прямой соответствует прямая, проходящая через точки (x
i
,y
i
) и 
(x
i+1
,y
С
): 
ℎ
 
Для точкиx=x
i+1
получаем: 
ℎ,откуда не-
медленно следует разностное соотношение: 
ℎ
(9) 
Значениеy
i+1/2
, относящееся к середине отрезка [x
i
, x
i+1
], приближенно 
можно вычислить по методу Эйлера 
(9’) 
Исключая из (9) промежуточные значенияy
i+1/2
(подстановкой выра-
жения (9’)), можно записать этот метод в виде следующей разностной схе-
мы: 
1 1 
1
Система уравнений (10) пред-
ставляет собой явную одношаговую 
разностную схему, аппроксимирую-
щую исходную задачу (6) со вторым 
порядком точности
ℎ
. 
Метод Эйлера с пересчетом. 
Построение другого способа расчета 
опирается на следующие геометриче-
ские соображения. С помощью метода 
Эйлера 
определяется 
точка 
(
, лежащая на прямойL
1
(рис.4). В этой точке снова вычисля-
Рис.4.Второй способ расчета 

---

11 
ется наклон интегральной кривой, на рисунке этому значению соответст-
вует прямаяL
2
. Усреднение двух тангенсов дает прямую
. Наконец через 
точку(x
i
,y
i
) проводим прямую 
, параллельную . Точка, в которой прямая
пересечется с ординатой x
i+1
и будет искомой точкой (x
i
,y
i
). Соответст-
вующая разностная схема будет иметь следующий вид: 
ℎ
1
11
где
ℎ
11
Уравнения (11)-(11’) аппроксимируют исходное дифференциальное 
уравнение (6) со вторым порядком точности.Последовательные значенияy
i
, 
в соответствии с (11), вычисляются по формуле 
ℎ
(11’’) 
Исключая из (11’’)
, получим явную формулу для
ℎ
ℎ
(12) 
Алгоритм вычислений, описываемый формулой (12), часто называ-
ется методом Эйлера с пересчетом. 
З а м е ч а н и е . Рассмотренные модификации метода Эйлера отно-
сятся к группе методов, называемых методами прогноза и коррекции (пре-
диктор-корректор). Суть этих методов состоит в том, что сначала грубо 
оценивается решение в некоторой точке отрезка интегрирования, а затем 
оно уточняется с учетом информации о поведении интегральной кривой. В 
частности, в методе Эйлера с пересчетом сначала вычисляется приближен-
ное значение
по формуле (11’), т.е. осуществляется прогнозирование 
результата, а затем вычисляется уточненное значение
по формуле 
(11’’) с учетом значения
.