Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Вычислительные методы на эвм»

 
2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ 
Общий подход. Обсуждение методов решения задачи Коши ради 
простоты будем проводить на примере одного уравнения первого порядка 
(6) 
З а м е ч а н и е . Методы, которые мы здесь рассмотрим, легко 
обобщаются для системы уравнений первого порядка, к которым, в част-
ности, сводятся уравнения высших порядков. Например, уравнение второ-
го порядка 
y
’’
=f(x,y,y
’’
), 
можно переписать в следующем виде: 
z
’
=f(x,y,z), 
y
’
=z, 
где z – новая зависимая переменная, определяемая вторым уравнени-
ем. Теперь получается система уравнений относительно yи z. Решение этой 
системы даст функцию и ее производную.
Построение численных алгоритмов решения уравнения (6) опирается 
на дискретизацию задачи. Введем в области расчетаx

[a,b] дискретный 
набор точекx
i
=a+hi,i=0,1,…,N,h=(b-a)/N, в которых будет вычисляться при-
ближенное решение (рис.1). Точки 
будем называть узлами интегриро-
вания или узлами сетки, расстояние h между узлами – шагом интегрирова-
ния или шагом сетки. Совокупность всех узлов {x
i
,i=0,1,…,N} будем назы-
вать сеточной областью или просто сеткой узлов. 
Мы 
также 
будем 
пользоваться 
другими 
обозначениями: 
{y
i
,i=0,1,…,N} – совокупность искомых приближенных значений решения 
задачи (6) в узлах сетки; {f
i
,=f(x
i
,y
i
), i=0,1,…,N} – совокупность значений 
правой части уравнения (6) в узлах.Различные совокупности величин, от-
несенных к узлам сетки, называются сеточными функциями.Фактически 
сеточная функция – это функция, заданная таблицей значений {x
k
, y
k
}. 

---

8 
Для характеристики точности численных методов определим по-
грешность приближенного решения следующим образом:
( )
,гдеy(x
i
) – значение точного решения в узле сетки. 
Определения.Будем говорить, что численное решение сходится к 
точному, если
. Будем также говорить, что метод, по которому полу-
чено численное решение, является методом p-го порядка точности, если 
выполняется неравенство

≤const∙h
p
. 
Переходим к обсуждению конкретных методов получения прибли-
женного решения задачи (6) в узлах сетки. Простейший способ их конст-
руирования опирается на замену производной в левой части уравнения (6) 
в окрестности каждого узла приближенным разностным отношением по 
формулам численного дифференцирования.