17
компьютеров. Однако многие из них до сих пор не утратили своего значе-
ния. Это
методы коллокаций, наименьших квадратов, метод Галеркина и
др.
Численные методы решения краевой задачи можно разделить на две
группы: сведение (редукция) решения краевой задачи к последовательно-
сти решений задач Коши и непосредственное применение конечно-
разностных методов.
Далее мы рассмотрим один из простых численных методов, относя-
щийся к первой группе методов.
Метод стрельбы («пристрелки»). Рассмотрим краевую задачу для
уравнения второго порядка, разрешенного относительно второй производ-
ной:
(20)
Заметим, что решение обсуждаемой за-
дачи имеет
простой геометрический
смысл. Нужно найти интегральную кри-
вую («траекторию»), проходящую через
точки
А,
В (рис. 5). Если в (20) заменить
условие
y(b)=y
b
наy
’
(a)=tgα, то мы полу-
чим задачу Коши (задачу с начальными
условиями, заданными в точкеx=a). Счи-
тая решение задачи Коши y=y(x,α), зави-
сящим от параметра
, будем искать та-
кое его значениеα
*
,
при котором полу-
ченная интегральная криваяy=y(x, α
*
)
выходит из точки
А и попадает в точку
В. Другими словами, нужно подоб-
рать такое значение угла наклона
, чтобы удовлетворялось уравнение
y(b,α)-y
b
=0 (21)
Следовательно, для нахождения параметра
необходимо решить не-
линейное уравнение видаF(α)=0, гдеF(α)=y(b,α)-y
b
.
Необычность ситуации состоит в том, что функцияF(α) задана не-
привычным пока для нас образом – алгоритмически: чтобы найти значение
функции
F при
заданном значении аргумента, надо решить задачу Коши
(22)
Но с точки зрения численных методов решения нелинейных уравне-
ний не важно как задана функция, достаточно уметь вычислять её значе-
ния. Если, например, из каких-то соображений (или в результате предвари-
тельных расчетов) известно, что искомое решение лежит между двумя ин-
тегральными кривыми
AB
’
и
AB
’’
с начальными наклонамиα
0
иα
1
, то про-
стейшим методом решения уравнения (21)
является метод половинного
деления. Полагаяα
2
=(α
0
+α
1
)/2 , решаем задачу Коши приα=α
2
и, в соответ-
Рис.5. Интегральная кривая,
проходящая через точки
А,
В
18
ствии с методом половинного деления, отбрасываем один из отрезков: [α
0
,
α
1
] или [α
2
, α
1
], на котором функция F(α) не меняет знак. Процесс поиска
решения прекращается, если разность двух последовательно найденных
значений
меньше некоторого наперед заданного малого числа. В
этом
случае полученное последним решение задачи Коши и будет принято за
искомое решение краевой задачи.
Для решения уравнения (21) можно использовать и другие методы,
например
метод Ньютона. Его применение состоит в следующем. Пусть
α
0
– начальное приближение кα
*
, тогда для уточнения корня можно по-
строить итерационный процесс в соответствии с формулой Ньютона (15):
1 (23)
Производную F
’
(α)=∂y(x,α)/∂α в знаменателе этого выражения мож-
но вычислить численно:
(24)
ГдеΔα – произвольная малая величина.С учетом (24) имеем:
1 (25)
Очевидно, что при использовании метода Ньютона уточнения корня
уравнения (21) для перехода от
k-го приближения к (k+1)-му необходимо
два раза решить задачу Коши (22): один раз с
y
’
(a)=tgα
k
и другой – с
y
’
(a)=tg(α
k
+Δα).
Описанный алгоритм называется методом стрельбы вполне оправ-
дано, поскольку в нем как бы проводится «пристрелка» по
углу наклона
интегральной кривой («траектории») в начальной точке. Следует отметить,
что этот алгоритм хорошо работает в том случае, если решениеy=y(x,α) не
слишком чувствительно к изменению
; иначе мы можем столкнуться с
неустойчивостью решения. В тех случаях, когда решения дифференциаль-
ных уравнений являются быстро растущими функциями, предпочтитель-
ней
могут оказаться методы, основанные на непосредственной аппрокси-
мации исходной задачи.
Do'stlaringiz bilan baham: