Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Вычислительные методы на эвм»

Численный пример. В качестве иллюстрации рассмотрим примене-
ние некоторых из описанных выше методов для решения простейшей фи-
зической задачи о движении частицы массой mпод действие силы упруго-
сти F=-kx. Определим зависимость положения частицы от времени, если в 
начальный момент времениt
0
=0 ее положение и скорость имеют заданные 
значенияx(0)=x
0
, 

(0)=

0
. Движение частицы описывается уравнением 
Ньютона: 
(18) 
Это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, 
которое можно заменить эквивалентной системой двух уравнений первого 
порядка: 

,

(19) 
где v – новая функция, имеющая в данном случае смысл скорости. 

---

14 
Уравнения (19) необходимо дополнить начальными условиями (постанов-
ка задачи Коши):x(0)=x
0
, υ(0)= υ
0
. 
Решение этой задачи хорошо известно: частица будет совершать 
гармонические колебания относительно положения равновесия (x=0) по 
законуx(t)=Asin(ωt+φ
0
), где A – амплитуда колебаний, 

– частота колеба-
ний, равная
, φ
0
– начальная фаза колебаний. Наличие точного анали-
тического решения этой задачи дает нам возможность оценить точность 
приближенных численных результатов.
Перейдем к обсуждению численного решения системы уравнений 
(19). Предположим, что решение уравнений (19) ищется на интервале 
времениtϵ[0,T]. Введем на этом интервале дискретную сетку узлов с 
шагомΔt: {t
i
=i·Δt, Δt=T/N, i=0, 1, …, N} 
Применение метода Эйлера (8) для решения системы уравнений (19) 
приводит к простым расчетным формулам: 
x
i+1
=x
i
+ υ
i
Δt, υ
i +1
= υ
i
-k/m · x
i
·Δt, i=0, 1, …, N(20) 
Применение формулы модифицированного метода Эйлера (10) сво-
дится к последовательному вычислению значений функций x и v сначала с 
шагом 1/2, с целью определения наклона интегральных кривых в середине 
отрезка интегрирования, а затем с шагомΔt: 
,
,
Исключая из последних формул промежуточные значенияx
i+1/2, 
, получим: 
,
, (21) 
i=0,1,…,N 
Можно показать, что применение метода Эйлера с пересчетом (12) к 
данной системе уравнений дает результат, в точности совпадающий с (21). 
И, наконец, применим для решения системы уравнений (19) формулы ме-
тода Рунге-Кутта четвертого порядка (14): 
ℎ 
ℎ
ℎ
ℎ
ℎ
ℎ
ℎ
Ниже в таблице 1.1 приведены результаты численных расчетов при 
начальных условияхx(0)=1,v(0)=0 для различных моментов времени.Масса 
частицы m и коэффициент упругости k приняты равными единице. Шаг 
интегрированияΔt во всех методах равен 0,1. 

---

15 
Таблица 1.1 
Результаты численных расчетов
Момент 
времени 
t 
Точное
значение 
x(t) 
Метод Эй-
лера 
Модифицированный 
метод Эйлера 
Метод
Рунге-Кутта 
IV 
0 
1 
1 
1 
1 
2 
-0,41615 
-0,45302 
-0,41927 
-0,41615 
4 
-0,65364 
-0,80974 
-0,64892 
-0,65365 
6 
0,96017 
1,28642 
0,96363 
0,96017 
8 
-0,14550 
-0,17751 
-0,15880 
-0,14549 
10 
-0,83907 
-1,40885 
-0,83095 
-0,83908 
Из приведенных результатов видно, что метод Эйлера обладает наи-
большей погрешностью, которая, к тому же, со временем сильно растет, 
т.е. характеризуется склонностью к накапливанию. Модифицированный 
метод Эйлера дает существенно лучший результат. На всем 
интервалеtϵ[0,10].Относительная погрешность его результатов не превос-
ходит 10%. Метод Рунге-Кутта показывает очень хорошую точность своих 
результатов с максимальной относительной погрешность не более 0,01%. 
Выбор шага интегрирования и контроль за точностью вычислений. 
До сих пор мы не обсуждали вопрос выбора шага интегрирования, а ведь 
именно от величины шага зависит точность получаемого решения и время, 
затрачиваемое на его получение. Из приведенных ранее рассуждений о по-
рядке точности методов решения ОДУ можно сделать общий вывод о том, 
что для повышения точности следует брать меньший шаг. Однако на прак-
тике ситуация не столь однозначна. Уменьшение шага интегрирования 
приводит к увеличению времени вычислений. И что более важно, слишком 
малые значения шага могут привести не к повышению точности, а, наобо-
рот, к увеличению погрешности в силу накапливания вычислительной 
ошибки. В тоже время, выбор слишком большого шага интегрирования 
может привести не только к большой погрешности, но и к получению аб-
солютно неверного результата. Поэтому выбор шага это всегда определен-
ный компромисс между точностью и временем.
Таким образом, мы обозначили проблему выбора такого значения 
шага интегрирования, при котором бы обеспечивалась требуемая точность 
вычисления и умеренные затраты машинного времени. И здесь, прежде 
всего, нужно определить критерий, по которому можно судить о точности 
получаемых результатов. В рассмотренном выше численном примере та-
ким критерием являлось сравнение приближенного результата с точным. 
Однако, если точный результат неизвестен, что и бывает в подавляющем 
большинстве случаев, то применение такого критерия оказывается невоз-

---

16 
можным.
Одним из возможных критериев точности может служить сравнение 
приближенных результатов в каждом узле, полученных при разных шагах 
интегрирования, напримерh иh/2. Если величина 
сравнима с заданной погрешностью вычислений, то шаг можно увеличить; 
в противном случае, когда указанная величина слишком велика, значение 
шага следует уменьшить. Используя эту оценку, можно построить методы 
с автоматическим выбором шага и контролем точности на протяжении все-
го времени вычислений. Такие алгоритмы называют адаптивными, т.е. 
подстраивающимися под условия конкретной задачи. 
Другой подход опирается на использование особенностей решаемой 
задачи. В частности, при решении многих физических задач может суще-
ствовать такой параметр, например, полная энергия, который должен со-
хранять свое значение. В ходе вычислений, постоянно отслеживают значе-
ние этого параметра и, в случае его изменения, выходящего за пределы до-
пустимой погрешности, корректируют значение шага интегрирования. 
Что касается выбора начального (пробного) значения шага, то здесь, 
к сожалению, не существует универсального рецепта. И в каждом кон-
кретном случае шаг выбирается исходя из характерных параметров решае-
мой задачи.