Окружностью девяти точек

1. 
   Окружностью девяти точек называют:
   

а) называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (называемой центром окружности).
б) отрезок, соединяющий две точки окружности
с) окружности называется хорда, проходящая через центр.
д) называют окружность, описанную около срединного треугольника (треугольника, образованного серединами сторон данного треугольника). Также эту окружность называют окружностью Эйлера (Эйлер доказал её существование) и окружностью Фейербаха (Карл Вильгельм фон Фейербах доказал, что эта окружность касается вписанной окружности треугольника).

2. 
   Найти правильное утверждение?
   

а) Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно его сторон, лежат на описанной окружности этого треугольника.
б) Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно середин его сторон, лежат на описанной окружности этого треугольника не является
с) Возможен и другой способ доказательства. Используем следствие 2 из теоремы прямой Эйлера 
д) нет правильного ответа

3. 
   Найти правильное утверждение?
   

а) Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно его сторон, лежат на описанной окружности этого треугольника.
б) Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно середин его сторон, лежат на описанной окружности этого треугольника не является
с) Возможен и другой способ доказательства. Используем следствие 2 из теоремы прямой Эйлера 
д) расстояние от вершины треугольника до его ортоцентра в два раза больше, чем расстояние от центра его описанной окружности до середины противолежащей стороны.

4. 
   Теорема Фейербаха дать определение?
   

а) к окружности называется прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку.
б) радиус окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной
с) окружность девяти точек касается вписанной окружности и трех вневписанных окружностей.
д) Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.

5. 
   Точка пересечения высот треугольника?
   

а) пересекаются б) непересекаются с) пересекаются точка медиан
д) пересекаются в одной точке.

6. 
   Гранями выпуклого многогранника яв­ляются только треугольники. Сколько у него вершин если он имеет 12 ребер?
   

а) 6 б) 7 с) 8 д) 9

7. 
   Гранями выпуклого многогранника яв­ляются только треугольники. Сколько у него граней если он имеет 12 ребер?
   

а) 6 б) 7 с) 8 д) 9

8. 
   Гранями выпуклого многогранника являются только четырехугольники. Сколько у него вершин и граней, если число ребер равно12 ?
   

а) Паралелипипед б) Куб с) Додекаэдр д) Пятиугольная грань

9. 
   В каждой вершине выпуклого многогранника сходится по четыре ребра. Сколько он имеет вершин и граней, если число ребер равно12 ?
   

а) Паралелипипед б) Куб с) Додекаэдр д) Октаэдр.

10. 
    Гранями многогранника являются двенадцать правильных пятиугольников, и в каждой вершине сходится три ребра. Сколько у него вершин и ребер? 
    

а) Паралелипипед б) Куб с) Додекаэдр д) Пятиугольная грань

11. 
    Чему равен центральный угол?
    

а) половине вписанного угла, опирающегося на ту же дугу
б) вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу
с) величине дуги, на которую он опирается
д) половине величины дуги, на которую он опирается

12. 
    Что является центром описанной около треугольника окружности?
    

а) точка пересечения высот треугольника
б) точка пересечения биссектрис треугольника
с) точка пересечения медиан треугольника
д) точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника

13. 
    MN и МК - отрезки касательных, проведенных к окружности с центром в точке О радиуса 5 см. Найдите длину отрезка МК, если МО = 13 см.
    

а) 12 см
б) 5 см
с) 13 см
д) 9 см

14. 
    Центральный угол АОВ равен 130°. Чему равен наименьший из вписанных углов, опирающихся на дугу АВ?
    

а) 130°
б) 65°
с) 115°
д) 260° 

15. 
    Хорды АВ и CD пересекаются в точке F так, что AF = 4 см, BF = 16 см, CF = DF. Чему равна длина отрезка CD?
    

а) 8 см
б) 16 см
с) 12 см
д) 4 см

16. 
    Квадрат описан около окружности радиуса 6 см. Чему равна площадь данного квадрата?
    

а) 36 см²
б) 72 см²
с) 108 см²
д) 144 см² 

17. 
    Треугольник АВС вписан в окружность так, что градусные меры дуг АВ и АС равны соответственно 100° и 140°. Найдите углы треугольника.
    

а) 100°, 40°, 40°
б) 140°, 20°, 20°
с) 50°, 70°, 60°
д) 80°, 40°, 60°

18. 
    Точки Е и Н делят окружность с центром О на дуги ЕАН и ЕКН так, что дуга ЕКН на 80° меньше дуги ЕАН, ЕА - диаметр окружности. Найдите величины углов ЕКА, ЕАН, ЕКН.
    

Ответ: угол ЕКА = 90°, угол ЕАН = 70°, угол ЕКН = 110°.
а) ЕКА = 30°, угол ЕАН = 70°, угол ЕКН = 110°.
б) ЕКА = 90°, угол ЕАН = 70°, угол ЕКН = 110°.
с) ЕКА = 60°, угол ЕАН = 70°, угол ЕКН = 110°.
д) ЕКА = 120°, угол ЕАН = 70°, угол ЕКН = 110°.

19. 
    Хорды MN и РК пересекаются в точке А так, что МА = 3 см, NA = 16 см, РА : КА = 1 : 3. Найдите длину хорды РК.
    

а) 15 см
б) 16 см
с) 18 см
д) 20 см

20. 
    Окружность с центром О радиуса 12 см описана около треугольника MNK так, что угол MON = 120°, угол NOK = 90°. Найдите длины сторон MN и NK треугольника.
    

а) MN = 12√3 см, NK = 12√2 см
б) MN = 15√3 см, NK = 12√2 см
с) MN = 18√3 см, NK = 12√2 см
д) MN = 21√3 см, NK = 12√2 см

21. 
    Расстояние от центра вписанной в равнобедренную трапецию окружности до концов боковой стороны равны 9 см и 12 см. Найдите площадь трапеции.
    

а) 512 см²
б) 256 см²
с) 144 см²
д) 216 см²

22. 
    В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10 см, а биссектриса, проведенная к основанию, - 8 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник, и радиус окружности, описанной около этого треугольника.
    

а) 3 см; 6,25 см
б) 5 см; 6,25 см
с) 8 см; 6,25 см
д) 9 см; 6,25 см

23. 
    Прямая и окружность имеют две точки пересечения, если расстояние от центра окружности до прямой:
    

а) больше радиуса окружности
б) равно радиусу окружности
с) меньше радиуса окружности
д) не меньше радиуса окружности

24. 
    Касательной к окружности называется:
    

а) прямая, которая пересекает окружность
б) прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку
с) прямая, имеющая с окружностью общие точки
д) отрезок, имеющий с окружностью только одну общую точку

25. 
    Признак касательной к окружности гласит:
    

а) касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания
б) если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, то она является касательной
с) если прямая имеет с окружностью общие точки, то она является касательной
д) если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной

26. 
    Центральным называется угол окружности, у которого:
    

а) вершина совпадает с центром окружности
б) стороны пересекают окружность
с) вершина лежит внутри окружности
д) вершина лежит на окружности

27. 
    Градусная мера вписанного угла:
    

а) равна градусной мере центрального угла, опирающегося на ту же дугу
б) равна градусной мере дуги, на которую он опирается
с) равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается
д) вдвое больше градусной меры дуги, на которую он опирается

28. 
    Выберите верное утверждение:
    

а) вписанный угол, опирающийся на полуокружность, развернутый
б) вписанный угол, опирающийся на полуокружность, острый
с) вписанный угол, опирающийся на полуокружность, тупой
д) вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой

29. 
    BCD - квадрат со стороной 4 см. На сторонах АВ и CD отложены отрезки АМ и СК так, что АМ = СК = 3 см. Найдите периметр четырехугольника MBKD.
    

а) 14 см
б) 12 см
с) 10 см
д) 16 см

30. 
    Если хорды АВ и МК пересекаются в точке Е, то выполняется равенство:
    

а) АЕ : МЕ = ВЕ : КЕ
б) АЕ : ВЕ = МЕ : КЕ
с) АЕ : ВЕ = КЕ : МЕ
д) АЕ : МЕ = КЕ : ВЕ