Методы расчета электрических сетей

Метод контурных уравнений
Метод контурных уравнений предназначен для расчета распределения мощностей (токов) и других параметров установившихся режимов в замкнутых электрических сетях. Метод нашел применение как в инженерных расчетах, выполняемых вручную, так и в алгоритмах, реализуемых на ЭВМ. Суть метода заключается в составлении и решении систем контурных уравнений и определении на их основе параметров режима. Составление контурных уравнений выполняют на основе первого и второго законов Кирхгофа.
Число независимых контурных уравнений равно числу независимых контуров. Система контурных уравнений может быть записана в форме токов или мощностей, называемых уравнениями контурных токов (УКТ) или уравнениями контурных мощностей (УКМ).
Составление УКТ и УКМ идентично, вместо сил токов можно оперировать мощностями. В общем случае все рассуждения в дальнейшем приведем к схеме, содержащей т ветвей, п независимых узлов (и + 1 — узел с заданным напряжением) и К независимых контуров.
Расчет режима с помощью уравнений контурных токов.
Основой этих уравнений является второй закон Кирхгофа, согласно которому для К независимых контуров, не содержащих ЭДС, можно записать
(36)
где I_kj — сила тока ветви у, входящий в состав контура к.
УКТ можно получить из уравнения (36), если выразить силы токов ветвей через принятые К контурные силы токов и заданные силы токов в п узлах по соотношениям первого закона Кирхгофа
(37)
где /₍— задающая сила тока узла /'.
Тогда недоопределенная (т> К) система уравнений с т переменными преобразуется в систему К независимых контурных уравнений с К контурными силами токов в качестве переменных. Решив эту систему, определим все контурные (независимые) силы токов. Затем вычислим зависимые (неконтурные) силы токов в других ветвях схемы, используя их выражения через контурные силы токов.
Согласно закону Ома по напряжению балансирующего источника и силам токов ветвей можно вычислить напряжения в других узлах электрической сети.
Сущность метода рассмотрим на примере электрической сети, схема замещения которой (рис. 7.9) содержит т = 5 ветвей, п + 1 = 4 узла с известными неизменными расчетными силами токов в п = 3 узлах и напряжением t/_g в (п + 1) четвертом узле, являющимся базисным по напряжению и балансирующим по мощности.
Последовательность составления УКТ и расчета на их основе параметров электрического режима:
1) выберем систему независимых контуров (малые контуры I и II, рис. 7.9). Количество независимых контуров

2) отметим ожидаемые (или произвольные) направления токов ветвей; выберем контурные токи /, = 1_п и /_и = /₂₆ , не являющиеся общими для независимых контуров;

Рис. 7.9. Схема замкнутой сети при задании нагрузок в узлах токами
3) выразим токи других ветвей через контурные токи /, и /_п и токи нагрузок /,, /₂, /₃ по балансовым соотношениям первого закона Кирхгофа:

4) запишем для контуров I и II уравнения по второму закону Кирхгофа:

5) подставляя в уравнение (7.39) значения токов (7.38), получим после небольших преобразований систему уравнений:

Сумма сопротивлений при контурных переменных, равная суммарному сопротивлению соответствующего контура:

называется собственным сопротивлением контура. Сопротивление ветви Z₂₃, одновременно входящей в смежные контуры I и II, называется взаимным сопротивлением контуров Z, „ = Z_n ,. Знак взаимного сопротивления Z,определяется при сопоставлении направлений контурных токов /, и /„ ; если в ветви Z, _п направления токов совпадают, то сопротивление Z_UII имеет знак плюс, при встречном направлении токов — знак минус. В данном случае

Известные (свободные) члены уравнений обозначим в виде

С учетом введенных обозначений систему уравнений контурных токов (7.40) перепишем в более общем виде:

Система (7.41) представляет собой контурные уравнения в канонической (нормальной) записи, в которой свободные члены Ё_х и Ё_п могут быть перенесены в правую часть уравнений.
Для сети, содержащей К независимых контуров, УКТ можно переписать в виде системы линейных уравнений, готовой к решению:

Решив систему линейных уравнений (7.41), получим значения контурных переменных /, и /_п. Далее по соотношениям (7.38) определим токи в других ветвях. Если какой-то ток окажется отрицательным, то в этой ветви следует изменить его направление по сравнению с принятым на рис. 7.9.
Напряжения в узлах сети определяются, начиная с узлов, ближайших к базисному, с известным напряжением U₆. Зная направление токов ветвей, получаем:

Учитывая, что данный метод не содержит каких-либо допущений, на этом расчет заканчивается. Если уточнить расчетные силы токов узлов по выражениям вида (7.2), (7.4) через найденные напряжения (7.43), то расчет параметров режима повторяется, начиная с позиции 3 последовательности составления УКТ.
Вычислив напряжения с заданной точностью, контролируя критерии вида (5.75) или (7.33), определим потокораспределение в сети. Например, для ветви 1—2 имеем 
Отметим некоторые свойства УКТ и особенности метода. Перепишем УКТ в развернутом матричном виде

или обозначим их кратко в компактной матричной записи:

В общем случае для сети, содержащей К независимых контуров, УКТ обладают следующими свойствами:

• 
  1) матрица контурных сопротивлений Z_K0HT квадратная размерности К, симметричная Z_(/ = Z__ji и слабозаполненная для сети со значительным числом контуров;
  
• 
  2) диагональные (собственные) элементы матрицы являются суммой сопротивлений ветвей, входящих в контур к, т.е.
  

Недиагональные элементы Z__kj представляют общее сопротивление контуров к
и у, равное сумме сопротивлений, общих для этих контуров ветвей. Если контуры не имеют общих ветвей, то Z__kJ — 0.
Количество независимых контуров К меньше числа ветвей и узлов схемы сети, поэтому размерность, а следовательно, трудоемкость решения УКТ существенно меньше, чем других моделей установившихся режимов, хотя сопоставление эффективности их использования сложнее и определяется не только соотношением числа переменных. Отметим, что контурные уравнения охватывают только замкнутую часть схемы. Расчет токов или потокораспределения разомкнутой части схемы требует дополнительных вычислений и ведется по балансовым соотношениям для узлов.
Расчет режима с помощью уравнений контурных мощностей.
При задании электрических нагрузок в мощностях расчет параметров режима ведут в два этапа: сначала определяют потокораспределение мощностей по ветвям без учета потерь мощности, а затем уточняют с учетом потерь мощности и рассчитывают напряжения узлов.
Для определения распределения потоков мощности без учета потерь используют контурные уравнения в форме мощности — У КМ. С этой целью преобразуют УКТ. Рассмотрим такое преобразование для системы уравнений (7.40), описывающих установившийся режим сети (см. рис. 7.9). Для перехода к контурным уравнениям в мощностях необходимо уравнения (7.40) умножить на некоторое среднее сопряженное напряжение 7з и , тогда 
Учитывая, что выражение  относительно записи

является комплексно-сопряженным, раскрывая скобки, можно перейти к сопряженным мощностям:

При переходе от уравнений (7.40) к уравнениям (7.44) сделано допущение, что напряжения всех узлов равны среднему значению напряжения (уровню напряжения) в контуре t/j = U₂ = и_г = U. Это допущение соответствует отказу от учета потерь мощности.
Для любой замкнутой сети, состоящей из К независимых контуров, система контурных уравнений имеет аналогичную структуру.
Перепишем контурные уравнения в компактном виде

Для анализа режима удобнее использовать исходные, а не сопряженные мощности. Выполнив применительно к уравнениям (7.44) операцию сопряжения, пе-
рейдем от сопряженных мощностей S к исходным S и сопряженным сопротивле-
ниям Z:

При решении на ЭВМ уравнения установившихся режимов для ЭС переменного тока приводятся к системе действительных уравнений удвоенного порядка. Применительно к таким уравнениям расчеты, выполняемые вручную, существенно упрощаются, так как исключаются операции с комплексными числами. Для получения действительных уравнений перепишем уравнения (7.46) в комплексных составляющих:

Это выражение можно записать в виде 
Приравняв нулю действительную и мнимую составляющие, получим систему уравнений удвоенного порядка с действительными коэффициентами:

Перепишем полученные уравнения в матричном виде:

где R_K, Х_к — подматрицы контурных сопротивлений размерности К, идентичные по свойствам матрице Z_K0HT ; Р_к , Q_K — А’-мерные подвекторы контурных мощностей; А', А" — векторы свободных членов преобразований уравнений (7.46).
Уравнения (7.46)—(7.48) представляют собой уравнения контурных мощностей с комплексными и действительными переменными и коэффициентами. Решением их являются значения контурных мощностей.
Для схемы сети (см. рис. 7.9) в качестве контурных приняты мощности ветвей:

По ним на основании соотношений, аналогичных (7.38), найдем потоки мощности во всех ветвях

В результате такого расчета определено потокораспределение мощностей в сети без учета потерь мощности и напряжений в узлах. Предположим, что оно такое, как показано на рис. 7.10, а. На этом первый этап расчета заканчивается.
Следующим этапом расчета замкнутой сети является расчет потерь мощности и уточнение потокораспределения и напряжений узлов.
Выявим точку потокораздела — ею будет узел 3.
Условно разрежем сеть в точке потокораздела мощностей и представим ее двумя разомкнутыми сетями: одна включает ветви 3'—1,1—2,2—6 и 2—3", а другая — 3"' — б; а узел 3 представим в три узла 3', 3", 3"' (рис. 7.10, б). Для сохранения баланса мощности в узле 3

подключим в узле 3' нагрузку 5₁₃ ветви 13, в узле 3" — нагрузку S_2i ветви 2—3, в узле 3'" — нагрузку 5₃₆ ветви 3—6. Расчет параметров режима для каждой разомкнутой сети отдельно выполняется по данным начала: определяются потоки мощности в начале и конце каждой ветви с учетом потерь, выполняемых по начальному приближению напряжений (рис. 7.10, в), а затем по мощностям в начале каждой ветви, начиная от балансирующего узла, определяются напряжения во всех узлах.

Рис. 7.10. Расчет режима методом контурных мощностей: а — приближенное потокораспределение без учета потерь мощности; б — преобразование замкнутой сети в разомкнутую; в — потокораспределение с учетом потерь мощности
Контурные уравнения для однородной сети.
Выделим составляющие комплексных сопротивлений в выражении (7.46)

Выполнив преобразования относительно активных сопротивлений, получим

С учетом определения однородности схемы Xj fRj = е = const, j = 1, т, имеем  или

Откуда получим независимые друг от друга системы уравнений: 
Если выполнить аналогичные преобразования относительно индуктивных сопротивлений, то можно получить

Таким образом, в однородных замкнутых сетях уравнения контурных мощностей можно решать раздельно для активных и реактивных мощностей, распределение которых в сети зависит от соотношения в контурах активных и реактивных сопротивлений.
Для сетей, приближенных к однородным, определение потокораспределения из уравнений «метода расщепления сети» (7.49) или (7.50) сопровождается ошибкой, возрастающей с ростом неоднородности схемы. Потокораспределение будет незначительно отличаться от действительного, если распределения активных мощностей выполнить по соотношению реактивных сопротивлений, а реактивных мощностей — по соотношению активных сопротивлений, т.е. из раздельного решения систем уравнений вида:

Как показали расчеты [18, задача 3.4], применение метода «расщепления сети» к сетям с невысокой неоднородностью дает решение с погрешностью, приемлемой для практических задач. Чаще всего условие однородности схемы выполняется для сети, каждый участок которой смонтирован проводами одинакового сечения. В этом случае уравнения (7.51) принимают вид: 
т.е. расчет распределения активных и реактивных мощностей можно выполнить раздельно по соотношению длин участков замкнутой сети. Эти частные уравнения используют для расчета потокораспределения в ветвях проектируемой замкнутой сети при выборе площади сечения проводов.
Допольнительные темы для МБИ