Алгоритм построения жордановой формы матрицы и матрицы перехода

Алгоритм построения жордановой формы матрицы и матрицы перехода.
Пусть дана вещественная постоянная матрица размерности .

1. 
   Решая уравнение , находим все собственные числа матрицы . Обозначим эти числа как и пусть алгебраическая кратность числа есть , при этом .
   
2. 
   Для собственного числа с алгебраической кратностью находим все соответствующие ему линейно независимые собственные векторы из системы уравнений (или , что безразлично). Пусть таким образом найдено векторов. Обозначим их как . Число есть геометрическая кратность собственного числа , при этом . Если из системы удалось найти все собственных векторов, то сразу переходим к следующему собственному числу и ищем собственные векторы для него и т. д. Если же геометрическая кратность числа оказалась меньше его алгебраической кратности, нужно строить корневые векторы.
   

Замечание. Если собственные числа матрицы образуют комплексно сопряжённую пару , то для построения двух линейно независимых собственных векторов, соответствующих этой паре собственных чисел, решаем систему . В получающемся комплексном векторе отделяем вещественную и мнимую части и таким образом получаем два вещественных вектора.

3. 
   Построение корневых векторов. Пусть для собственного числа при нахождении линейно независимых собственных векторов получилось, что . Тогда необходимо построить корневые векторы. Они строятся следующим образом:
   

Решаем систему . Получили корневой вектор , «добавочный» к собственному вектору . Далее решаем систему , получаем следующий корневой вектор , и действуем так дальше до тех пор, пока получаемые системы оказываются совместны. В результате у нас получается цепочка: собственный вектор и следующие за ним «добавочные» или корневые. Цепочка имеет вид: Длина такой цепочки соответствует размерности одной клетки Жордана, соответствующей числу .
Замечание. Одному и тому же собственному числу в жордановой форме могут соответствовать как одна, так и несколько клеток.
Когда первая цепочка закончилась, так же начинаем строить цепочку от второго собственного вектора , соответствующего всё тому же собственному числу . Суммарная длина всех цепочек с верхним индексом (1) равна - алгебраической кратности числа .
Аналогично проводим построение собственных и корневых векторов для всех остальных собственных чисел матрицы.

4. 
   «Сборка» матрицы перехода.
   

Собственный вектор + цепочка, построенная от него, далее собственный вектор + цепочка от него и т. д. пока не переберём все собственные векторы, отвечающие числу ; далее собственные векторы со своими цепочками, отвечающие числу , потом числу и так далее.

5. 
   ; .
   

ПРИМЕРЫ.
Пример 1.
. Собственные числа: .
Строим собственные векторы, отвечающие числу 1 с алгебраической кратностью 2.
. Отсюда (заметим, что первая компонента может быть выбрана произвольно). Других, линейно независимых, векторов из этой системы построить нельзя. Итак, геометрическая кратность числа 1 равна 1. Нужно строить корневой вектор (очевидно, он будет только один, так как третий нужный вектор даст второе собственное число, равное 2).
Рассмотрим систему или , откуда . Число может быть выбрано произвольно, положим . Заметим, что следующая система уже несовместна, как и должно быть. Итак, собственному числу соответствует одна цепочка из двух векторов и значит – одна клетка Жордана размерности 2.
Строим собственный вектор, соответствующий собственному числу . Рассматриваем систему , откуда . Пусть , тогда окончательно получаем
; . Жорданова форма построена.
Матрица .
Пример 2.
. Собственные числа: . Алгебраическая кратность числа равна трём.
Строим собственные векторы.
. Отсюда ; (последняя компонента может быть выбрана произвольно). Других, линейно независимых, векторов из этой системы построить нельзя. Следовательно, геометрическая кратность собственного числа равна 2.
Нужно построить корневой вектор. Рассмотрим систему или , откуда можно выбрать, например .
А вот аналогичная система для второго собственного вектора:
или - несовместна.
Таким образом, получились две цепочки. Одна состоит из двух векторов – собственного вектора и «добавочного» к нему корневого вектора, другая цепочка состоит из одного вектора – собственного вектора . Это означает, что собственному числу будут соответствовать две клетки Жордана: одна – размерности 2 и другая – размерности 1.
Окончательно получим:
; .
Жорданова форма построена. Матрица .