“Maydonning murakkab algebraik kengaytmasi va u haqidagi teorema” mavzusidagi kursi sh I bajardi: ”Matematika” yo‘nalishi

ko’phadni F maydon ustida keltiriladigan ko’phad, aksincha, agar bunday ko’paytma shaklida ifodalash mumkin bo’lmasa, u holda f(x) ni F maydon ustida

ko’phadni F maydon ustida keltiriladigan ko’phad, aksincha, agar bunday ko’paytma shaklida ifodalash mumkin bo’lmasa, u holda f(x) ni F maydon ustida

keltirilmaydigan ko’phad deyiladi. Har qanday F sonlar maydoni ustidagi 1-darajali istalgan ko’phad shu F maydon ustida keltirilmaydigan ko’phad bo’ladi.

Maydon ustida keltirilmaydigan ko’phadlar quyidagi xossalarga ega:

1°. Agar p(x) va g(x) keltirilmaydigan ko’phadlar bo’lib r(x):g(jx) bo’lsa, u holda

r(x)=ag(x) (a#)) bo’ladi.

2° Ixtiyoriy f(jx) ko’phad keltirilmaydigan ixtiyoriy r(x) ko’phadga bo’linadi

yoki (f(jc);r(jx))=l bo’ladi.

3°. Agar fj(x) (i=l,m) ko’phadlaming hyech biri keltirilmaydigan r(x)

ko’phadga bo’linmasa, u holda fi(jx) f2(jx)... fm(jx):r(x) bo’ladi.

4°. Agar fi(jx) f2(jx)...fm(jc):r(jx) (p(jx) -keltirilmaydigan ko’phad), u holda fj(x)

(i=l,m) ko’phadlaming aqalli bittasi r(x) ga bo’linadi.

5°. р(дг) keltirilmaydigan ko’phad bo’lsa, u holda ar(x) (O^aeF) ham

keltirilmaydigan ko’phad bo’ladi.

Teorema. F maydon ustida berilgan va darajasi 1 dan kichik bo’lmagan har

bir ko’phad shu F maydon ustida keltirilmaydigan ko’phad yoki keltirilmaydigan

ko’phadlar ko’paytmasiga yoyiladi va bu yoyilma ko’paytuvchilari o’zgarmas

ko’paytuvchilargacha aniqlik darajasida yagonadir.

Algebrannig asosiy teoremasi. Darajasi 1 dan kichik bo’lmagan kompleks

koeffitsientli har qanday ko’phad kamida bitta kompleks ildizga ega.

Misol. f(x)= x3+9x-26 ko’phad x1=2, x2,з= -1±2 \/з i ildizlarga ega.

Bu teoremadan quyidagi natijalar kelib chiqadi:

Natija. Kompleks sonlar maydon ustidagi n-darajali ko’phadning n ta ildizi

mavjud.

Natija. n-darajali f(x) ko’phad x ning n tadan ortiq har xil qiymatlarida nolga