“Maydonning murakkab algebraik kengaytmasi va u haqidagi teorema” mavzusidagi kursi sh I bajardi: ”Matematika” yo‘nalishi

Lagranjdan so’ng butun dunyo matematiklari oldida darajasi beshdan kichik bo’lmagan tenglamalarni ra­dikallarda yechish uchun mavjud algebraik amallar yyetarli bo’ladimi, degan masala yuzaga keldi. Xatto 1798 yilda italyan matematigi Ruffini darajasi beshdan kichik bo’lmagan tenglamalar kvadrat radikal­larda echilmaydi, degan fikrni isbotlamoqchi bo’ldi. Lekin uning muloxazalari to’liq emasligi zamondoshlari tomonidan ko’rsatib berildi. Darajasi beshdan kichik bo’lmagan umumiy ko’rinishdagi tenglamani radikallarda yechish mumkin emasligini birinchi bo’lib norvegiyalik matematik Abel (1802—1829) isbot etdi. Ammo Ruffini va Abelning izlanishlari xam da­rajasi beshdan kichik bo’lmagan qanday tenglamalarni radikallarda yechish mumkin va qandaylari radikallar­da echilmaydi degan muxim savolga to’lik javob bera olmadi.

Bu masalani birinchi bo’lib, buyuk fransuz matema­tigi Evarist Galua (1811-1832) atroflicha xal etdi. Galua darajasi beshdan kichik bo’lmagan va radikal­larda echiladigan konkret tenglamalarni ko’rsatdi. Shuning bilan bir qatorda u tenglamani radikallarda yechilishining zarur va yyetarli shartlarini isbot qildi. 

Maydonning murakkab algebraik kengaytmasi va u haqidagi teorema.

Ratsional sonlar maydoni ustida f(x)=a0xn+aixn' 1+... +a„-i*+an ko’phadning ildizi aox1H-aixn' 1+...+an-iA:+an=0 tenglamaning ildizi bo’ladi. Shuning uchun n-darajali ko’phadning ratsional ildizi o’miga n-darajali tenglamaning ildizini topamiz.

Teorema. Kasr koeffitsientli tenglamani butun koeffitsientli tenglama bilan

almashtirish mumkin.

Teorema. Butun koeffitsientli tenglamani bosh koeffitsienti 1 ga teng butun

koeffitsientli tenglamaga keltirish mumkin.

Teorema. Bosh koeffitsienti 1 ga teng bo’lgan koeffitsientlari butun sonlardan

iborat tenglamannig ratsional ildizlari faqat butun sonlar bo’ladi.

Teorema. Bosh koeffitsienti 1 ga teng bo’lgan butun koeffitsientli tenglamaning

butun ildizi ozod hadning bo’luvchisi bo’ladi.