Maydonlar nazariyasi

Ostrogradskiy teoremasi.

Agar 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧) funksiyalar biror yopiq Vsohada uzluksiz va uzluksiz

xususiy hosilalarga ega bо’lib, Vsohani chegaralovchi 𝐵 sirt esa bо’lakli-silliq bо’lsa,

Ostrogradskiy formulasi deb ataladigan quyidagi tenglik о’rinli bо’ladi.

∫∫∫_V(𝜕𝑃/𝜕𝑥+𝜕𝑄/𝜕𝑦+𝜕𝑅/𝜕𝑧𝑑𝑥) 𝑑𝑦 𝑑𝑧=

= ∯_B(𝑃 cos 𝛼 + 𝑄 cos 𝛽 + 𝑅 cos 𝛾 )𝑑𝐵

bunda cos 𝛼, cos 𝛽, cos 𝛾 lar 𝐵 sirtga о„tkazilgan 𝑛 birlik normalning yо‘naltiruvchi

kosinuslari.

Ostrogradskiy formulasi vektor shaklida quyidagicha ifodalanadi;

П(𝑎𝐵)= ∯𝑎∙𝑛𝑑𝐵 = ∫∫∫_V 𝑑𝑖𝑣𝑎 ∙𝑑𝑣

Ya’ni vektor maydoning yopiq 𝐵 sirt bо„yicha oqimi, uning divergensiyasidan 𝐵 sirt

]chegaralab turgan V hajm bо„yicha olingan integralga teng. Ostrogradskiy formulasini

tadbiq qilish, kо‘pgina hollardda yopiq sirt bо‘yicha maydon oqimini hisoblashni

soddalashtiradi. Xususan, bu formuladan solenoidal maydonning (𝑑𝑖𝑣 𝑎 = 0) har qanday

yopiq sirt bо„yicha oqimi 0 ga tengligi kelib chiqadi.Ostrogradskiy formulasi

yordamida divergensiyaningmexanik ma‟nosini aniqlashimiz mumkin 𝑀0− vektor

maydon aniqlangan sohadagi tayinlangan nuqta, 𝐵- markazi 𝑀0 dabо‘lgan sfera bо‘lsin.

О‘rta qiymat haqidagi teoremaga kо‘ra

∫∫∫_V 𝑑𝑖𝑣𝑎𝑑𝑣 = 𝑉(𝐵)𝑉𝑑𝑖𝑣𝑎(𝑀) ,

Bunda 𝑉 (𝐵 ) − 𝐵 sfera bilan chegaralangan sharning hajmi, 𝑀 − shardan olingan biror nuqta, bundan va Ostrogradskiy formulasidan

𝑑𝑖𝑣 𝑎(𝑀) =П(𝑎,𝐵)/𝑉(𝐵).

Bu tenglikda 𝐵 sferaning s radiusini 0 ga intiltirib limitga o‘tsak, divergensiyaning 𝑀0

nuqtadagi qiymati uchun

𝑑𝑖𝑣𝑎(𝑀₀)= lim_𝑠→0П(𝑎 , 𝐵)/𝑉(𝐵)

tenglik hosil bо‘ladi. Bundan kо‘rinadiki, 𝑎 maydonning 𝑀₀ nuqtadagi divergensiyasi,

shu maydoning 𝑀₀ nuqtaga kirayotgan (𝑑𝑖𝑣 𝑎(𝑀₀) < 0 bo′lganda) oqimning hajmi bо„yicha

zichligini anglatar ekan.