Maydonlar nazariyasi

Potensial va solenoidal vektor maydonlar

Agar V sohada

𝑎 (𝑀 )= 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑 (𝑀) (8)

tenglikni qanoatlantiruvchi 𝜑(𝑀) skalyar maydon mavjud bо‘lsa, 𝑎(𝑀) vektor

maydon V sohada potensial maydon deyiladi, 𝜑(𝑀) maydon esa 𝑎(𝑀)

maydoning potensiali deyiladi. 𝑟𝑜𝑡 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑 𝑀 = 0 bо‘lgani uchun potensial maydon

uchun 𝑟𝑜𝑡𝑎= 0 tenglik о‘rinli, ya’ni u uyurmasiz maydon bо‘ladi. Agar V sohada

yotgan har qanday yopiq konturni shu sohadan tashqariga chiqmay, uzluksiz ravishda

nuqtaga qadar tortish mumkin bо‘lsa, V soha – bir bog‘lamli soha deyiladi. Butun

fazo, yarim fazo, shar, kub, ellipsoid, sharning tashqarisi, bitta nuqtasi olib

tashlangan fazo va shu kabilar bir bog‘lamli sohaga misol bо‘la oladi. Bitta tо‘g‘ri

chizig‘i tashlab yuborilgan fazo, bitta diametrsiz shar, tor va shu kabilar bir bog‘lamli

bо‘lmagan sohaga misol bо‘la oladi.

Bir bog‘lamli sohada teskari tasdiq ham tо‘g‘ri: bir bog‘lamli Vsohadagi har qanday

uyurmasiz maydon potensial maydon bо‘ladi. Shuni takidlab aytamizki, bir bog‘lamli

bо‘lmagan sohada uyurmasiz maydon potensial maydon bо‘lmasada sohadagi har

bir nuqta shunday atrofga ega bо‘ladiki, bu atrofda (8) shartni qanoatlantiradigan 𝜑

funksiya mavjud bо‘ladi. Biroq, bu funksiya’ni butun sohaga davom ettirib bо‘lmaydi.

Odatda, bunday davom ettirishda 𝑦 kо‘p qiymatli bо‘lib qoladi. Potensial vektor

maydonning 𝜑(𝑀)potensiali о„zgarmas qо‘shiluvchi aniqligida topiladi. Uni topishda

𝜑 (𝑀) = ∫_M₀M𝑎 𝑑𝑟+ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (9)

Fо‘rmuladan foydalaniladi, bunda 𝑀₀− 𝑉 sohadagi tayinlangan

nuqta, integrallash yо„li 𝑀0 𝑀 ixtiyoriy bо„lishi mumkin, faqatgina u 𝑉 sohadan

tashqariga chiqib ketmasa bas. Agar 𝑉 shunday soha bо‘lsaki, tayinlangan 𝑀₀

nuqtani sohadagi har bir 𝑀 nuqta bilan bо‘laklari koordinata о‘qlariga parallel

bо‘lgan siniq chiziq orqali tutashtirish mumkin bо‘lsa (17-rasm)

17-rasim 18-rasim

(9) formuladan

𝜑 ( 𝑥, 𝑦, 𝑧 ) = 𝑥+ + 𝑐

tenglik kelib chiqadi, bunda 𝑐 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

Bu formuladagi ikkinchi integral hisoblanayotganda 𝑥, uchinchi integral

hisoblanayotganda esa 𝑥 𝑣𝑎 𝑦 argumentlar о‘zgarmaslar deb qaraladi. V dagi har

bir M nuqta tayinlangan 𝑀0nuqta bilan tо‘g‘ri chiziq orqali tutashtirilgan “yulduzli”

fazoda, shu tog‘ri chiziq kesmasi orqali amalga oshirib (bunda 𝑀0kordinta boshi

sifatida olinadi (18-rasm ),

𝜑(𝑀) = + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

fо„rmulani hosil qilamiz, bunda 𝑟 𝑀 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘, 0 ≤ 𝑡 ≤ 1

bо‘lganda 𝑀′(𝑡𝑥, 𝑡𝑦, 𝑡𝑧) nuqta 𝑀𝑜 𝑀 kesmada xarakatlanadi.