Mavzuning dolzarbligi, maqsadi va vazifalari 2-9

§2.2.Darbu tenglamasi va uni yechish.
Ushbu
M(x)dx+N(x)dy+P(x)(xdy-ydx)=0, (2.8) ko’rinishdagi tenglamani ham Bernulli differensial tenglamasiga keltirish mumkin, agarda M(x) va N(x) funksiyalar bir o’lchovli va P(x) shu yoki boshqa o’lchovli bir jinsli funksiya bo’lsa. (2.8) tenglamani ba’zan Darbu tenglamasi deb ham aytiladi.
Faraz qilaylik, M(x) va N(x) ning har biri m-darajali va P(x) esa n-darajali bir jinsli funksiya bo’lsin, ya’ni:

Agar desak, u holda y=xz, bo’lib, berilgan (2.8) tenglamaning ko’inishi bunday bo’ladi:
yoki
yoki
bu esa, Bernulli differensial tenglamasidan iborat bo’lib, bu yerda


Bu tenglama esa, yuqorida (1⁰ nunktda) ko’rsatilgan metod bilan integrallanadi. Albatta integrallashdan so’ng, z ni bilan almashtirish lozimdir.
Misol. Ushbu Darbu tenglamasini integrallang:
,
Yechilishi: Berilgan tenglamada m=3, n=1; shuning uchun deb faraz qilamiz bundan,
demak,
yoki buni x³ ga qisqartirsak, bunday yozish mumkin:
yoki
Bu yerda esa x ga nisbatan birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamadan iborat bo’lib,
bu yerda m=3, n=1 bo’lgani uchun n-m+2=0, ya’ni bo’lib, Bernulli tenglamasi birinchi tartibli chiziqli tenglamadan iborat bo’lgan holdir, endi chiziqli tenglamaning umumiy integralining formulasi bo’yicha ushbuni topamiz:


Bu integralni e’tiborga olib umumiy yechimni topamiz:

bo’lgani uchun
;
natijada esa,
yoki

yoki qaytib z ni bilan almashtirilsa

C₂=const
§2.3.Yakobi differensial tenglamasi va uni yechish.
yakobi differensial tenglamasi deb ushbu tenglamaga aytiladi:
(2.9)
Bu yerda a,a₁,a₂,b,b₁,b_2,c,c₁,c₂-berilgan o’zgarmas sonlardan iborat
Bu tenglamani 2⁰-punktda o’rganilgan Darbu tenglamasining ko’rinishiga keltirish mumkin. Buning uchun:
, (2.10)
Deb faraz qilamiz, bu yerda noma’lum o’zgarmas sonlar. (2.10) ko’rinishdagi almashtirish natijasida (2.9) tenglamaning ko’rinishi bunday bo’ladi:
(2.11)
bunda
,(2.12)
Endi (2.11) tenglamani bunday yozamiz:
(2.13)
Agar (2.14)
Tengliklar o’rinli deb faraz qilsak, natijada (2.13) tenglama ushbu ko’rinishga keladi:
(2.15)
Bu tenglama esa o’tgan paragrafdagi holdan iboratdir.