Mavzuning dolzarbligi, maqsadi va vazifalari 2-9

§2.4.Rikkati differensial tenglamasi.
Umumlashgan Rikkati tenglamasi deb ushbu tenglamani aytiladi:
(2.16)
Bunda P, Q, R berilgan bo’lib, ular x ning funksiyalaridan iboratdir.
P=0 bo’lsa, (2.16) tenglamadan

Birinchi tartibli chiziqli tenglama hosil bo’ladi.
Agar R=0 bo’lsa, ushbu Bernulli differensial tenglamasi hosil bo’ladi:
(2.16) ni quyidagicha yozib olaylik
(2,17)
(2.17) tenglamaning o’ng tomoni
sohada aniqlangan va uzluksiz bo’lib,y bo’yicha uzluksiz differensiallanuvchi,chunki

O’ng tomondagi funksiya D sohada aniqlangan va uzluksiz funksiya D sohada aniqlangan va uzluksiz funksiyadan iboratdir. Demak D sohada Koshi teoremasining shartlari o’rinli. D sohaning ixtiyoriy olingan , nuqtasidan Rikkati tenglamasining bitta integral chizig’i o’tadi.
2.2-Teorema. Agar (2.16) Rikkati tenglamasining bitta xususiy yechimi ma’lum bo’lsa, bu tenglama kvadraturalarda integrallanadi.
Isboti. Faraz qilaylik funksiya (2.16) tenglamaning biror xususiy yechimi bo’lsin, ya’ni:
(2.18)
Ayniyat o’rinli bo’ladi.
Endi y=y₁+z ko’rinishdagi almashtirish bajaramiz:


bo’ladi.
(2.18) tenglikka asosan z no’malumni toppish uchun esa

Tenglamaga ega bo’lamiz, bu esa Bernulli differensial tenglamasidan iborat bo’lib, ikkita kvadratura bilan integrallanadi. Tenglamani har ikkala tomonini ga bo’lib, so’ngra
(2.19)
almashtirish bajarsak:

(2.20)
bo’ladi. Bu chiziqli tenglamaning umumiy integrali
(2.21)
ko’rinishda bo’ladi. Endi eski o’zgaruvchiga
tenglik orqali qaytsak, (2.16) tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha bo’ladi:

1. Misol. tenglama Rikkati differensial tenglamasi bo’lib, uning xususiy yechimini ko’rinishda izlash maqsadga muvofiqdir. Bundan

Bundan ekanligi kelib chiqadi. Ravshanki

Ham berilgan tenglamaning xususiy yechimi bo’ladi.
Agar ni olsak, u holda

Almashtirish bajarib, tegishli Bernulli tenglamasi

ko’rinishda bo’ladi.
Endi desak, tenglamaga kelamiz. Bu esa o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamadir. Uning umumiy yechimi:
ko’rinishda bo’lib,
Almashtirishlar yordamida berilgan Rikkati tenglamasining umumiy yechimi ushbu ko’rinishda bo’ladi:
(C=const)
2-misol. tenglama Rikkati tenglamasining tipidan bo’lib, bunda

da aniqlangan uzluksiz funksiyalardir.
funksiya tenglamani qanoatlantirishini tekshirib ko’rish qiyin emas. Shuning uchun,

Almashtirish bajarsak,bundan

Bularni berilgan tenglamaga qo`yilsa , ushbu Bernulli tenglamasini hosil qilamiz :

Bu tenglamani integrallash uchun ikkala tomonini z ga bo`lib , so`ngra

deb faraz qilamiz , bundan ushbu chiziqli tenglamani hosil qilamiz ;

Bu tenglamaning umumiy yechimi esa

bo`ladi.

bo`lgani uchun

bundan
, (C=const)
Berilgan tenglamaning umumiy integrali shuning o`zi bo`lib, u ixtiyoriy o`zgarmasga nisbatan chiziqli ratsional funksiyadan iboratdir.