Mavzu: Turg’unlik operator darajasi normasining chegaralanganligi sifatida

Agar Pn va V n tegishli bo`lgan Y fazoda biror-bir norma II.IIy kiritilgan bo’lsa, u holda (13.6`) tengliklardan quyidagi baho kelib chiqadi.

Eslatib o’tish lozimki, chiziqli normallashgan Y fazoning o’zini-o’ziga akslantiradigan chiziqli operator T ning normasi llTll deb quyidagi songa aytiladi.

Bundan va vektorlar normasi xossalaridan ushbu munosabatlar o’rinli ekanligi kelib chiqadi:

bu yerda µ–ixtiyoriy son. Baho (13.21) ni olish uchun ularning dastlabki ikkitasidan foydalaniladi. Munosabat (13.21) dan quyidagi tengsizlik kelib chiqishi ma’lum

1-Lemma. Ayirmali sxema kanonik ko’rinish (13.13) ga keltirilgan bo’lsin va Uh Fh , va Y fazolarda kiritilgan normalar shunday tanlangan bo’lsinki, quyidagi tengsizliklar bajarilsin

Bu holda ayirmali sxema turg’un bo’lishi uchun

Rh operator darajalarining normasi to’r qadami h bo’yicha tekis chegaralangan bo’lishi yetarlidir, yani ushbu shartlar bajarilishi lozim

Bu holda turg’unlik sharti (13.24) ga kiruvchi C o’zgarmas sifatida, ushbu sonni olish mumkin

Isbot. Ushbu lemmani isbotlashda shartlar (13.23) va (13.24) hamda Nh 1 ekanligini e’tiborga olgan holda quyidagi tengsizliklar zanjiridan foydalaniladi:

Yoki

Turg`unlikni tadqiq etishga doir misollar qaraymiz. 1-misol. Differentsial tenglamalar sistemasi uchun ayirmali sxema (13.14) ning turg’unligini tadqiq etamiz. Fazolar Uh va Fh da normalarni ushbu tengsizliklar orqali kiritamiz.

Yuqorida ko’rib o’tdikki, quyidagi belgilashlar kiritilgandan keyin

qaralayotgan ayirmali tenglamalar sistemasi kanonik ko’rinish (13.13) ga ega bo’ladi.

vn va pn lar tegishli bo’lgan ikki o’lchamli fazo Y da quyidagi normani kiritamiz

Uh Fh , va Y fazolarda kiritilgan normalar (13.23) shartlarni qanoatlantiradi. Shu sababli turg’unlikni tadqiq etish uchun ushbu shartning bajarilishini ko’rsatish yetarlidir

Ta’kidlash lozimki, Y fazoda tanlangan vektorlar normasidan ixtiyoriy chiziqli operatorning