Mavzu: Turg’unlik operator darajasi normasining chegaralanganligi sifatida

Belgilash (13.12) lar orqali, yuqorida formula (13.6) ni hosil qilishdagi almashtirishlardan foydalanamiz. Tenglik (13.6) ushbu ko`rinishni oladi

(13.6)

O`z navbatida quyidagi tengsizlik kelib chiqadi

Normalar endi ushbu tengliklar orqali yoziladi.

(13.7)

(13.8)

Nh=1 ekanligini e’tiborga olgan holda, quyidagi tengsizlikni yozish mumkin

Agarda h ga nisbatan barcha sonlarning tekis chegaralanganligini, ya’ni ushbu baho o`rinli ekanligini ko`rsata olsak

(13.9)

turg`unlikning isboti tugallangan hisoblanadi.

Ma’lumki,

o`rinli, bu isbotni yakunlaydi. Ayirmali sxemani kanonik forma (13.13) ko`rinishiga keltirish ayirmali sxema turg`unligi masalasini, o`tish operatori ni baholash masalasiga olib keldi. Bu ayirmali sxemalar turg`unligini baholash uchun juda qulay.

Shu sababli, turli ayirmali sxemalar turg`unligini tadqiq etishda, ularni kanonik ko`rinish (13.13) formasiga keltiramiz, bunda Vn Pn , va Rh lar qaralayotgan ayirmali sxemaga mos qilib tanlanadi, ya’ni har bir ayirmali sxema uchun ular o`sha sxemadan olinadi. Endi oddiy differensial tenglamalar sistemasi uchun Koshi masalasi (13.2) ni approksimatsiyalaydigan ayirmali sxemani kanonik forma (13.13) ko`rinishida yozamiz

(13.14)

Bunda

ayirmali sxema (13.14) ni, ushbu matritsali-vektorli formada yozamiz

bu yerda – ikkinchi tartibli matritsa. Bu matritsali-vektorli ayirmali sxemaga rekurrent munosabat ko`rinishini beramiz:

Quyidagi belgilashlarni kiritsak

oxirgi munosabatni, talab qilingan kanonik ko`rinish (13.13) formasiga keltirgan bo`lamiz.

Aralash Koshi masalasi (13.3) uchun tabiiy tanlangan normalarda approksimatsiyalaydigan quyidagi ayirmali sxemaning turg`unligini tadqiq etamiz:

(13.15)

Normalar ni ushbu tengliklar bilan aniqlaymiz

(13.16)

Tadqiq etilayotgan sxemani kanonik ko`rinish (13.13) formasiga keltirish uchun quyidagi belgilashni kiritamiz: