Mavzu: Tasodifiy miqdorlarning matematik kutilmasi va dispersiyasi. Xossalari. Reja: I kirish II asosiy qism

Matematik kutilma xossalari va misollar.

Har bir tasodifiy miqdor o‘zining taqsimot funksiyasi orqali to‘la aniqlanishini biz avvalgi bobda ko‘rgan edik. Kuzatuvchi nuqtai nazaridan, bir xil taqsimot funksiyaga ega bo‘lgan tasodifiy miqdorlarni, garchan ular turli ehtimollar fazosida aniqlangan bo‘lib,turli hodisalarni tasvirlasalar ham bir-biridan ajratib bo‘lmaydi. Ammo taqsimot funksiyalar turlicha bo‘lgan tasodifiy miqdorlar berilgan bo‘lib ularni taqqoslash talab qilinsa, ma’lum qiyinchiliklar paydo bo‘ladi. Ba’zi hollarda bunday qiyinchiliklar oson yechiladi. Masalan, agar Bernulli sxemasida bizni yutuqlar soni qiziqtirayotgan bo‘lsa, u holda ikkita Bernulli sxemasidan qaysi birida yutuqning ehtimoli katta bo‘lsa, xuddi shunisini tanlash kerak ekanligi tabiiy. Umumiy holda esa ikkita taqsimot funksiya’ni qanday taqqoslash tushunarli emas, va shuning uchun ham xar bir tasodifiy miqdorni biror son (balki bir qancha sonlar) bilan xarakterlash maqsadga muvofiq bo‘lib, ular tasodifiy miqdorlarni ma’lum ma’noda tartiblashga sabab bo‘lar edi. Tasodifiy miqdorning bunday xarakteristikalaridan biri uning o‘rta qiymati yoki matematik kutilmasidir.
Mazkur ma’ruzada biz tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini o‘rganamiz.
X diskret tasodifiy miqdor taqsimot qonuni berilgan bo‘lsin:
{ }.
1. Matematik kutilma va uning xossalari.
X tasodifiy miqdor matematik kutilmasi deb, qator yig‘indisiga aytiladi va
(1)
orqali belgilanadi.
Matematik kutilmaning ma’nosi shuki, u tasodifiy miqdor o‘rta qiymatini ifodalaydi. Haqiqatan ham ekanligini hisobga olsak, u holda
.
Uzluksiz tasodifiy miqdor matematik kutilmasi deb
(2)
integralga aytiladi. (2) integral absolut yaqinlashuvchi, ya’ni bo‘lsa matematik kutilma chekli, aks holda matematik kutilma mavjud emas deyiladi.
Matematik kutilmaning xossalari:

1. 
   O‘zgarmas sonning matematik kutilmasi shu sonning o‘ziga teng, ya’ni
   

MC=C.

2. 
   O‘zgarmas ko‘paytuvchini matematik kutilish belgisidan tashqariga chiqarish mumkin,
   

M(CX)=CMX.

3. 
   Yig‘indining matematik kutilmasi matematik kutilmalar yig‘indisiga teng,
   

M(X+Y)=MX+MY.

4. 
   Agar XY bo‘lsa,
   

M(XY)=MXMY.
Isbotlar: 1. O‘zgarmas C sonni faqat 1 ta qiymatni bir ehtimollik bilan qabul qiluvchi tasodifiy miqdor sifatida qarash mumkin. Shuning uchun MC=CP{X=C}=C1=C.
2. CX diskret tasodifiy miqdor qiymatlarni ehtimolliklar bilan qabul qilsin, u holda .
3. X+Y diskret tasodifiy miqdor qiymatlarni ehtimolliklar bilan qabul qiladi, u holda ixtiyoriy n va m lar uchun

Bu yerda va bo‘ladi. Chunki, ,
.
4. Agar XY bo‘lsa, u holda
va

Matematik kutilmaning xossalari tasodifiy miqdor uzluksiz bo‘lganda ham huddi shunga o‘xshash isbotlanadi. Masalan, .