Mavzu: Sonli qatorlar. Qator yaqinlashishining zaruriy va yetarli shartlari. Reja

Mavzu: Sonli qatorlar. Qator yaqinlashishining zaruriy va yetarli shartlari.
Reja
1. Sonli qatorlar.Qator yaqinlashishining zaruriy sharti.
2.Taqqoslash belgilari.
3.Musbat hadli qatorlar yaqinlashishining Dalamber, Koshi,Koshining integral belgilari.

Cheksiz qator − bu matematik analizning amaliy jihatdan qulay vositalaridan biridir. O’z davrida Vavilon matematiklari geometrik va arifmetik progressiyalarning yig’indisini topishni bilishgan, Evklid va Arximed esa kattaliklarning cheksiz qatorlar ko’rinishdagi ifodasidan foydalanishgan. Qatorlar nazariyasining rivojlanishida J. Dalamber, O. Koshi, K.-F. Gauss, X. Abel asosiy ro’l o’ynagan. Trigonometrik qatorlarning o’rganilishi J.Fure, P.-G. Dirixle, B.Riman nomlari bilan bog’liq.
Hozirgi vaqtda qatorlar nazariyasi taqribiy hisoblashlarning asosi hisoblanadi. Bu nazariya yordamida ba’zi funksiyalar va integrallarning qiymatlari jadvali tuzilgan. Qatorlar nazariyasi differensial tenglamalarning analitik nazariyasida keng qo’llaniladi. Fure qatorlari nazariyasi ko’plab texnik sistemalar funksional jarayoni tadqiqotining taqribiy usullarini ishlab chiqishda va matematik fizikaning bir qancha chegaraviy masalalarini yechishda asos qilib olingan.
1-ta’rif. sonli ketma-ketlik hadlaridan hosil qililngan
(5.1)
ifodaga sonli qator (qator) deyiladi. Bunda qatorning hadlari, qatorning umumiy hadi deb ataladi².
Agar qatorning umumiy hadi, ya’ni - hadning funksiyasi ma’lum bo’lsa, qator berilgan deyiladi.
(5.1) qator birinchi ta hadlarining yig’indisi
(5.2)
(5.1) qatorning - qismiy yig’indisi deb ataladi.
Qismiy yig’indilar ketma-ketligi ni qaraymiz:
(1.3)
ketma-ketlik yo chekli limitga intilishi yoki limitga ega bo’lmasligi mumkin.
Masalan:
1. qator uchun

va ;
2. qator uchun va ;
3. qator uchun , ya’ni ketma-ketlik limitga ega emas.
Agar chekli limit mavjud bo’lsa, (1.1) qatorga yaqinlashuvchi qator deyiladi. Bunda limitga qatorning yig’indisi deyiladi va u

kabi yoziladi.
Izoh. Qatorlar nazariyasida ham (1.1) qator uchun ham uning yig’indisi uchun bir xil belgilash qabul qilingan.
Agar limit mavjud bo’lmasa yoki bo’lsa, (1.1) qatorga
uzoqlashuvchi qator deyiladi².
1-misol. qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. Qatorning qismiy yig’indilari ketma-ketligini yozamiz:
.
Bu ketma-ketlikni ifodani hisobga olib, boshqa ko’rinishga keltiramiz:

Bundan Demak, qator uzoqlashadi.
2-misol. qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. Qatorning umumiy hadini:

Qatorning -qismiy yig’indisini topamiz:

.
Bundan Demak, qator yaqinlashadi va uning yigindisi
3-misol. qatorni (geometrik progressiyani) yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. Elementar matematika kursidan ma’lumki,
Bunda: 1)
2) da , ;
3) da . Bunda juft bo’lganda va toq bo’lganda , ya’ni limit mavjud emas.
Demak, geometrik progressiya: da yaqinlashadi va uning yi’indisi
; da uzoqlashadi.
Sonli qatorlar quyidagi xossalarga ega.