Mavzu: Sonli qatorlar. Qator yaqinlashishining zaruriy va yetarli shartlari. Reja

4-teorema (Koshining ildiz alomati). (2.1) qator uchun chekli yoki cheksiz limit mavjud bo’lsin. U holda da qator yaqinlashadi va da qator uzoqlashadi.
Isboti. bo’lgani uchun sonli ketma-ketlik limiti ta’rifiga ko’ra
con uchun shunday nomer topiladi va uchun
yoki (2.4)
tengsizlik bajariladi.
bo’lsin. belgilash kiritamiz va ni etarlicha kichik qilib shunday tanlaymizki, bunda tengsizlik bajariladi. U holda (2.4) tengsizlikning o’ng qismidan yoki tengsizlik kelib chiqadi.
qator yaqinlashuvchi va 1-teoremaga kora (2.1) qator ham yaqinlashuvchi.
bo’lsin. belgilash kiritamiz va ni shunday tanlaymizki, bunda bo’ladi. U holda biror nomer boshlab (2.4) tengsizlikning chap qismigadan tengsizlik kelib chiqadi. Demak, va (2.1) qator uzoqlashadi.
Izoh. Dalamber va Koshining ildiz alomatlatrida bo’lganda qator yaqinlashishi ham uzoqlashishi ham mumkin. Shu sababli bu holda qator yaqinlashishga boshqa yetarli alomatlar bilan qo’shimcha tekshiriladi.
4-misol. qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. Berilgan qator uchun

Demak, Koshi alomatiga ko’ra qator uzoqlashadi.
5 -teorema (Koshining integral alomati). (2.1) qatorning hadlari oraliqda aniqlangan musbat, monoton kamayuvchi funksiyaning dagi qiymatlaridan iborat, ya’ni bo’lsin. U holda:
1) agar xosmas integral yaqinlashsa, (2.1) qator ham yaqinlashadi;
2) xosmas integral uzoqlashsa, (2.1) qator ham uzoqlashadi.
Isboti. Yuqoridan funksiya grafigi bilan, quyidan o’q bilan, yon tomonlaridan va to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyani qaraymiz (1-shakl). Bu trapetsiyaga asoslari bo’lgan ichki va
tashqi to’g’ri to’rtburchklar chzamiz. U holda aniq integralning geometrik ma’nosiga ko’ra
,
,

bo’ladi.
1) xosmos integral yaqinlashuvchi bo’lsin. U holda limit mavjud bo’ladi. bo’lgani uchun ketma- ketlik o’sadi va yuqoridan son bilan chegaralanadi.
tengsizlikdan tengsizlik kelib chiqadi. Demak, ketma-ketlik o’suvchi va yuqoridan chegaralangan. Shu sababli limit mavjud bo’ladi va (2.1) qator jaqinlashadi.
2) xosmos integral uzoqlashuvchi bo’lsin. U holda va ketma- ketlik o’suvchi va chegaralanmagan bo’ladi.
tengsizlikdan tengsizlik kelib chiqadi.
Demak, da va (2.1) qator uzoqlashadi.
5-misol. qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. qatorga umumlashgan garmonik qator deyiladi.
Bu qatorga mos oraliqda aniqlangan, uzluksiz, monoton kamayuvchi funksiyani olamiz. U holda agar da

Bu integral da yaqinlashadi va da uzoqlashadi.
Demak, Koshining integral alomatiga ko’ra umumlashgan garmonik qator da yaqinlashadi va da uzoqlashadi.
bo’lganda bu qatordan uzoqlashuvchi garmonik qator kelib chiqadi.
Demak, umumlashgan garmonik qator da yaqinlashadi va da uzoqlashadi.
Izoh. Musbat hadli qatorlar uchun ko’rilgan yetarli alomatlar manfiy hadli qatorlar, ya’ni barcha hadlari manfiy bo’lgan qatorlar uchun ham o’rinli bo’ladi. Chunki manfiy hadli qator musbat hadli qatorni ga ko’paytirish orgali hosil qilinadi va bunda 1-xossaga ko’ra qatorning yaqinlashishiga ta’sir ko’rsatilmaydi.