Mavzu: Sonli qatorlar. Qator yaqinlashishining zaruriy va yetarli shartlari. Reja

1-xossa. Agar qator yaqinlashuvchi va uning yig’indisi bo’lsa,
(1.4)
qator ham yaqinlashadi va uning yig’indisi bo’ladi, bu yerda ixtiyoriy son.
Isboti. Yaqinlashuvchi qatorning - qismiy yig’indisi va (1.4) qatorning - qismiy yig’indisi bo’lsin.
U holda
.
Bundan
,
ya’ni (1.4) qator yaqinlashadi va uning yig’indisi ga teng.
2-xossa. Agar va qatorlar yaqinlashuvchi va ularning yig’indilari mos ravishda va bo’lsa,
(1.5)
qator ham yaqinlashadi va uning yig’indisi ga teng bo’ladi.
Isboti. Yaqinlashuvchi , qatorlarning - qismiy yig’indilari mos ravishda va (1.5) qatorning - qismiy yig’indisi bo’lsin.
U holda

ya’ni (1.5) qator yaqinlashadi va uning yig’indisi ga teng.
Shunday qilib, yaqinlashuvchi qatorlarni chekli yig’indilar kabi chekli songa ko’paytirish, hadma-had qo’shish va ayirish mumkin.
3-xossa. Agar
(1.6)
qator yaqinlashuvchi bo’lsa, bu qatordan chekli sondagi birinchi ta hadni tashlab yuborish natijasida hosil bo’lgan
(1.7)
qator ham yaqinlashadi va aksincha, agar (1.7) qator yaqinlashuvchi bo’lsa, bu qatorga chekli sondagi ta hadni qo’shish natijasida hosil bo’lgan (1.6) qator ham yaqinlashadi.
Boshqacha aytganda, qatorning istalgan chekli sondagi birinchi hadlarini tashlab yuborish qatorning yaqinlashishiga ta’sir qilmaydi.
Isboti. (1.6) qatorning dastlabki ta hadi yig’indisi , tashlab yuborilgan ta hadi yig’indisi va (1.7) qatorning birinchi ta hadi yig’indisi bo’lsin. U holda
(1.8)
bo’ladi va bunda yig’indi ga bog’liq bo’lmaydi.
(1.6) qator yaqinlashuvchi, ya’ni bo’lsin. U holda (1.8) tenglikdan

Demak, (1.7) qatorning xususiy yig’indilari ketma-ketligi da chekli limitga ega va (1.7) qator yaqinlashadi.
Teskatisi, (1.7) qator yaqinlashuvchi, ya’ni bo’lsin. U holda (1.8) tenglikdan

Demak, (1.6) qatorning xususiy yig’indilari ketma-ketligi da chekli limitga ega va (1.6) qator yaqinlashadi.
Izohlar. 1. Yaqinlashuvchi qator bilan uzoqlashuvchi qatorning yig’indisi (ayirmasi) uzoqlashuvchi qator bo’ladi.
Bu tasdiqning to’g’riligiga teskarisidan kelish usuli bilan ishonch hosil qilish mumkin.
2. Ikkita uzoqlashuvchi qatorning yig’indisi (ayirmasi) yaqinlashishi ham uzoqlashishi ham mumkin.
(1.1) qatordan hosil qilingan
(1.9)
qatorga (1.1) qatorning -qoldig’i deyiladi.
Sonli qatorning xossalaridan quyidagi natijalar kelib chiqadi.