Mavzu: Sonli qatorlar. Qator yaqinlashishining zaruriy va yetarli shartlari. Reja

2-teorema (taqqoslashning limit alomati). Agar musbat hadli (2.1) va (2.2) qatorlar uchun bo’lsa, u holda har ikkala qator bir vaqtda yaqinlashadi yoki bir vaqtda uzoqlashadi.
Isboti. Ketma-ketlikning limiti ta’rifiga ko’ra limit mavjud bo’lishidan son uchun shunday nomer topiladi va barcha uchun yoki bo’ladi.
Bundan , kelib chiqadi.
(2.1) qator yaqinlashuvchi bo’lsin. U holda , bo’lgani uchun 1-teoremaga ko’ra qator yaqinlashadi. Bundan qatorning 1- xossasiga ko’ra (2.2) qator yaqinlashadi.
(2.1) qator uzoqlashuvchi bo’lsin. U holda , bo’lgani uchun 1-teoremaga va qatorning 1-xossalariga ko’ra (2.2) qator uzoqlashadi.
Shu kabi, (2.2) qator yaqinlashsa (uzoqlashsa), (2.1) qator ham yaqinlashadi (uzoqlashadi).
Izoh. Taqqoslash alomatlarini qo’llashda ko’pincha etalon qator sifatida yaqinlashuvchi (geometrik progressiya) qator yoki uzoqlashuvchi (garmonik qator) qator olinadi.
2-misol. qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. Berilgan qator bilan va garmonik qator hadlari nisbatining limitini topamiz:

Garmonik qator uzoqlashuvchi. Demak, 2-teoremaga ko’ra berilgan qator uzoqlashadi.
3-teorema (Dalamber alomati). (2.1) qator uchun chekli yoki cheksiz limit mavjud bo’lsin. U holda da qator yaqinlashadi va da qator uzoqlashadi.
Isboti. bo’lgani uchun sonli ketma-ketlik limiti ta’rifiga ko’ra con uchun shunday nomer topiladi va uchun
yoki (2.3)
tengsizlik bajariladi.
bo’lsin. belgilash kiritamiz va ni etarlicha kichik qilib shunday tanlaymizki, bunda tengsizlik bajariladi. U holda (2.3) tengsizlikning o’ng qismidan , tengsizlik kelib chiqadi. Bundan
.
Demak, (2.1) qatorning hadlari yaqinlashuvchi qator hadlaridan kichik. U holda 1-teoremaga ko’ra (2.1) qator yaqinlashadi.
bo’lsin. belgilash kiritamiz va ni shunday tanlaymizki, bunda bo’ladi. U holda biror nomerdan boshlab (2.3) tengsizlikning chap qismigadan tengsizlik kelib chiqadi. Shu sababli va qator uzoqlashishining yetarli alomatiga ko’ra (2.1) qator uzoqlashadi.
3-misol. qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. Berilgan qatorda , . Bundan

Demak, Dalamber alomatiga ko’ra qator yaqinlashadi.