Mavzu: paramaetrga bog’liq koshi masalasi. Koshi masalasining asimptotik masalalari. Topshirdi: Kurs ish rahbari: reja: I. Kirish. II. Asosiy qism

2-natija. (8) formuladan (1)-(2) Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining xarakteristik funksiyasi karrali nolga ega emasligi kelib chiqadi.

4. Parametrga bog‘liq chegaraviy masalaning xos qiymatlari uchun asimptotik formulalar

Quyidagi

(1)

(2)

Shturm – Liuvill chegaraviy masalasini qaraylik. Bu yerda -berilgan haqiqiy uzluksiz funksiya, va chekli haqiqiy sonlar, esa kompleks parametr.

Ko‘rinib turibdiki, funksiya (1) tenglamani va (2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi. Chegaraviy masalaning nolmas yechimini topish maqsadida (1) differensial tenglamaning

boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini orqali belgilaymiz.

Aniqlanishiga ko‘ra, funksiya (2) chegaraviy shartlarning birinchisini qanoatlantiradi. Chegaraviy masalaning xos qiymatlarini topish uchun funksiyani (2) chegaraviy shartlarning ikkinchisiga qo‘yamiz:

(3)

Hosil bo‘lgan bu tenglamaga (1)-(2) chegaraviy masalaning xarakteristik tenglamasi deyiladi. Uning ildizlari, ya’ni sonlar (1)-(2) chegaraviy masalaning xos qiymatlaridan iborat bo‘ladi.

1-teorema. (1)-(2) chegaraviy masalaning xos qiymatlaridan tuzilgan to‘plam quyidan chegaralangan, ya’ni shunday son mavjudki, undan kichik xos qiymat yo‘q.

Isbot. Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni (1)-(2) chegaraviy masalaning xos qiymatlaridan tuzilgan to‘plam quyidan chegaralanmagan bo‘lsin deb hisoblaylik. U holda, bu to‘plamdan ga intiladigan xos qiymatlardan tuzilgan qismiy ketma-ketlik ajratib olish mumkin bo‘ladi. Aytaylik, shu shartni qanoatlantiruvchi ketma-ketlik bo‘lsin. Ushbu belgilashni kiritamiz.

Quyidagi

(4)

(5)

formulalarni, parametrning haqiqiy manfiy qiymatlarida qarasak va belgilashdan foydalansak, ushbu

(6)

(7)

tengliklar hosil bo‘ladi. Bu asimptotik formulalarni (3) xarakteristik tenglamaga qo‘yib,

bo‘lishini ko‘ramiz. bo‘lganda oxirgi tenglikning chap tomoni ga intiladi, o‘ng tomoni esa nolga teng, ziddiyat.

1-natija. Kompleks o‘zgaruvchili funksiyalar nazariyasidan ma’lumki, butun funksiyaning nollaridan tuzilgan to‘plam chekli limitga ega bo‘lmaganligi uchun (1)-(2) chegaraviy masalaning xos qiymatlari to‘plami ham chekli limit nuqtaga ega bo‘lmaydi. Chunki, (3) xarakteristik tenglamaning chap tomoni butun funksiya. Shuning uchun (1)-(2) chegaraviy masalaning xos qiymatlar ketma-ketligi faqat ga intilishi mumkin.

2-teorema. (1)-(2) chegaraviy masalaning sanoqli sondagi xos qiymatlari mavjud. Bu xos qiymatlarni o‘sib borish tartibida orqali belgilasak, u holda ushbu

(8)

asimptotik formula o‘rinli bo‘ladi.

Isbot. (1), (2) chegaraviy masalaning xos qiymatlari orasida chekli sondagisi manfiy bo‘lishi mumkin. Demak, ning biror qiymatidan boshlab larning barchasi musbat bo‘ladi. Biz ketma-ketlik uchun ning yetarlicha katta qiymatlaridagi asimptotikasini keltirib chiqaramiz. Buning uchun ushbu

(9)

(10)

asimptotik formulalardan foydalanamiz. Bu yerda

(9) va (10) ifodalarni (3) xarakteristik tenglamaga qo‘yib,

munosabatni olamiz. Bu tenglamadan

ya’ni

(11)

kelib chiqadi. Ko‘rinib turibdiki, (11) tenglamaning sanoqli sondagi ildizi mavjud bo‘lib, bu ildizlar butun sonlar atrofida joylashgan bo‘ladi, aks holda (11) tenglamaning o‘ng tomoni nolga intiladi, chap tomoni esa nolga intilmaydi. Shuning uchun

munosabat o‘rinli bo‘ladi. Bu yerda butun son va da .

Rushe teoremasiga asoslanib, bo‘lishini ko‘rsatamiz. Buning uchun

funksiyalarni qaraymiz. Bu funksiyalarning yig‘indisi (1)-(2) chegaraviy masalaning xarakteristik funksiyasini beradi. (4) va (5) asimptotik formulalarga ko‘ra, funksiyaning

bahosini topamiz.

orqali ushbu aylanani belgilaymiz. Bu yerda natural son.