Mavzu: paramaetrga bog’liq koshi masalasi. Koshi masalasining asimptotik masalalari. Topshirdi: Kurs ish rahbari: reja: I. Kirish. II. Asosiy qism

2. Parametrga bog’liq Koshi masalasi yechimining asimptotikalari.

Ushbu

(1)

(2)

Koshi masalasini qaraylik. Bu yerda haqiqiy uzluksiz funksiya, haqiqiy chekli son. 1-rejada (1)-(2) Koshi masalasining yechimi mavjud, yagona va kompleks parametrga nisbatan butun funksiya bo‘lishi isbot qilingan edi. Endi, yechimning bo‘lgandagi asimptotikasini o‘rganish maqsadida (1), (2) Koshi masalasiga ekvivalent bo‘lgan integral tenglama tuzamiz. Buning uchun (1) differensial tenglamani

(3)

ko‘rinishda yozib olamiz. Bu yerda

. (4)

So‘ngra, (3) bir jinsli bo‘lmagan differensial tenglamani Koshi usulidan foydalanib yechamiz. Buning uchun nuqtani olib quyidagi

Koshi masalasining yechimini topamiz:

.

Boshlang‘ich shartlardan foydalanib o‘zgarmaslarga nisbatan

tenglamalar sistemasini keltirib chiqaramiz. Bu sistemani Kramer qoidasidan foydalanib yechamiz:

,





.

Demak,

.

Topilgan ushbu

funksiya argumenti bo‘yicha ya’ni

differensial tenglamani qanoatlantiradi. Odatda, funksiyani bir jinsli differensial tenglamaning Koshi funksiyasi deyiladi. Bundan foydalanib, (3) bir jinsli bo’lmagan differensial tenglamaning umumiy yechimini topish mumkin:

(5)

Yuqoridagi (4) belgilashni va (2) boshlang‘ich shartni inobatga olsak, (5) tenglik

(6)

ko‘rinishni oladi. Bu tenglama funksiyaga nisbatan Volterraning ikkinchi turdagi integral tenglamasidir.

(1) differensial tenglamaning ushbu

va

boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlarini mos ravishda va orqali belgilaymiz. Bu yechimlar uchun (6) integral tenglama quyidagi

, (7)

(8)

ko‘rinishni oladi.

1-lemma. Agar bo‘lsa, u holda

(9)

(10)

baholar o‘rinli bo‘ladi.

Isbot. Quyidagi

belgilashni kiritib olamiz. U holda

tenglik o‘rinli bo‘ladi. Buni (7) integral tenglamaga qo‘yamiz:

,

ya’ni

(11)

Keyinchalik quyidagi elementar baholashlardan foydalanamiz:

,

Aytaylik,

bo‘lsin. U holda yuqorida olingan baholashga ko‘ra, (11) tenglikdan ushbu

tengsizlik kelib chiqadi. Bundan ushbu

,

ya’ni

tengsizlikni olamiz. Lemma shartidan foydalanib

bahoni hosil qilamiz. (12) va (13) tengsizliklardan baho, ya’ni kelib chiqadi. Shunday qilib, (9) baholash isbot bo‘ldi.

(10) baholash ham shu tarzda isbot qilinadi.

2-lemma. Agar bo‘lsa, u holda

(14)

(15)

(16)

(17)

baholashlar o‘rinli.

Isbot. Yuqoridagi (9) tengsizlikdan foydalanib, (7) integral tenglamadan ushbu

bahoni olamiz. Xuddi shuningdek (8) integral tenglama va (10) baholashga ko‘ra,

tengsizlikni keltirib chiqaramiz.

Endi (14) va (15) tengsizliklarni isbotlaymiz. Buning uchun, avvalo (7) va (8) integral tenglamalarni differensiallaymiz:

(18)

(19)

Bu tengliklardan va (9), (10) tengsizliklardan foydalanib, ushbu

baholashlarni olamiz.

1-natija. Agar bo‘lsa, u holda quyidagi

(20)

asimptotik formulalar o‘rinli bo‘ladi.

2-natija. Agar orqali (1) differensial tenglamaning ushbu

boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini belgilasak, u holda

(21)

asimptotik formulalar o‘rinli bo‘ladi. Bu baholashlarni isbotlashda ushbu

tenglikdan foydalanish maqsadga muvofiq.

Olingan (21) baholashlarni aniqlashtirish maqsadida quyidagi

(22)

(23)

belgilashlardan foydalanamiz. (22) va (23) ifodalarni (7), (8) va (18), (19) tengliklarning o‘ng tomonlariga qo‘yib,

(24)



(25)



(26)



(27)

tasvirlarni hosil qilamiz. Endi (24) tenglikning o‘ng tomonidagi oxirgi integralni baholaymiz:

.

Xuddi shuningdek, ushbu

tengsizliklarning o‘rinli ekanligini ko‘rsatish mumkin.

(24)-(27) tasvirlarda yuqoridagi baholashlardan foydalansak, quyidagi asimptotikalarga ega bo‘lamiz:

(28)

(29)

(30)

(31)