Mavzu: paramaetrga bog’liq koshi masalasi. Koshi masalasining asimptotik masalalari. Topshirdi: Kurs ish rahbari: reja: I. Kirish. II. Asosiy qism

2) Butunligi. Endi yechimning parametrga nisbatan butun funksiya bo‘lishini isbotlaymiz. Aniqlanishiga ko‘ra, funksiyalarning har biri sohada golomorf bo‘lishi ravshan. Haqiqatan ham, golomorf. Bundan foydalanib ushbu

funksiyaning sohada golomorfligiga ishonch hosil qilamiz. Chunki, parametrga nisbatan birinchi darajali ko‘phaddir. Xuddi shuningdek, quyidagi

tenglikdan parametrga nisbatan ikkinchi darajali ko‘phad ekanligi ko‘rinadi. Bu esa funksiyaning sohada golomorf ekanligini bildiradi. Yuqoridagi jarayonni davom qildirish natijasida funksiyaning sohada golomorf bo‘lishiga ishonch hosil qilamiz. Veyershtrassning kompleks analizdagi teoremasiga ko‘ra, limitik funksiya ham sohada golomorf bo‘ladi. soni ixtiyoriy bo‘lgani uchun butun funksiya bo‘ladi.

3) Avvalo (1) differensial tenglamaga qo‘yilgan

(16)

Koshi masalasining yechimi uchun quyidagi

(17)

tasvirning o‘rinli ekanligini ko‘rsatamiz. Bu yerda yadro haqiqiy uzluksiz funksiya bo‘lib,

(18)

shartni qanoatlantiradi.

Ma’lumki, (1), (16) Koshi masalasi ushbu

(19)

integral tenglamaga ekvivalent. Bu integral tenglamani

formuladan foydalanib ushbu

ko‘rinishda yozish mumkin. Bundan

tenglik kelib chiqadi. Ketma-ket yaqinlashish usulidan foydalanib, ushbu

(20)

funksional qatorni tuzamiz. Bu yerda

(21)

Matematik induksiya usulidan foydalanib, funksiyalar uchun

(22)

tasvir o‘rinli bo‘lishini ko‘rsatamiz. Bunda yadro, o‘zgaruvchiga bog‘liq emas. Avvalo funksiyani hisoblaymiz:

Bu tenglikni oxirgi integralida almashtirish bajaramiz, natijada ushbu

tenglikka ega bo‘lamiz. Ikkinchi integralda integrallash tartibini almashtirib,

munosabatni olamiz. Bundan

kelib chiqadi. Bu yerda

(23)

Demak, bo‘lganda (22) tasvir o‘rinli ekan.

Endi, biror nomer uchun (22) tasvirni to‘g‘ri deb, uni bo‘lganda o‘rinli bo‘lishini ko‘rsatamiz. Buning uchun (22) tasvirni (21) formulaga qo‘yamiz. Natijada ushbu

munosabatga ega bo‘lamiz. Bu integralda va almashtirishlarni mos ravishda bajarib, quyidagi

tenglikni topamiz. Integrallash tartibini almashtirish natijasida, ushbu

(24)

tasvirga ega bo‘lamiz.Bu yerda

(25)

Nihoyat, (22) tenglikni (20) qatorga qo‘yib, (17) tasvirga ega bo‘lamiz. Bu yerda

. (26)

Yuqoridagi (24) va (25) tengliklarga ko‘ra,

(27)

baho o‘rinli bo‘ladi. Haqiqatan ham, (23) tenglikdan

baho kelib chiqadi. Agar biror nomer uchun (27) baho o‘rinli bo‘lsa, u holda (25) tenglikdan

tengsizlik hosil bo‘ladi. Shunday qilib, sohada (26) qator tekis yaqinlashuvchi bo‘lib, uning yig‘indisi uzluksiz funksiyadan iborat bo‘ladi. Bundan tashqari, funksiyaning silliqligi, ushbu

funksiyaning silliqligi bilan bir xil bo‘ladi. Yuqoridagi (24) va (25) tengliklardan

kelib chiqadi.

Xuddi shuningdek, (1) differensial tenglamaga qo‘yilgan ushbu

(28)

Koshi masalasining yechimi uchun ham quyidagi

(29)

(30)

tasvirning o‘rinli bo‘lishini ko‘rsatish mumkin.

Ko‘rinib turibdiki, va yechimlar (1) differensial tenglamaning chiziqli erkli yechimlaridan iborat. Bundan esa (1)-(2) Koshi masalasining ( , ) yechimi uchun

tengliklarning o‘rinli bo‘lishi kelib chiqadi. Bu yerda deb, boshlang‘ich shartlardan foydalansak, kelib chiqadi. Natijada ushbu

formula hosil bo‘ladi. Bu tenglikning o‘ng tomonidagi va yechimlarning o‘rniga ularning integral tasvirlarini qo‘ysak, quyidagi

(30)

(32)

formulalar kelib chiqadi. Teorema isbot bo‘ldi.