|
1. “Kvadrat ildizlar” mavzusini o`rganishda Ulug`bek ilmiy maktabining atoqli namoyondalaridan biri, Ulug`bekning sevimli shogirdi, mashhur olim Aloviddin ibn Muhammad Ali Qushchi “Hisob risolasi” (“Kitobul Muhammadiya”) nomli asarida sonlardan ixtiyoriy natural darajali ildiz chiqarish usullarini ko`rsatib berganligi aytib o`tiladi.
Ali Qushchi kvadrat ildizni taqribiy hisoblash uchun quyidagi formulani beradi:
yoki
2. “Kvadrat tenglamalarni yechish” mavzusini o`rganish jarayonida Muhammad al-Xorazmiyning “Kitobul-muxtasar fi hisob al-jabr val-muqobala” (“Al-jabr val-muqobala hisobi haqida qisqacha kitob”) asariga murojaat qilamiz. Xorazmiyning bu risolasida kvadrat tenglamalar quyidagi hollarga bo`linadi:
a). «Kvadrat, ildizlarga teng” — x2=bx.
Masalan, kvadrat o`zining beshta ildizlariga teng bo`lsa, u vaqtda bu kvadratning ildizi beshga teng bo`ladi, uning kvadrati yigirma beshga yoki beshta ildizga teng bo`ladi». Ya’ni x2=5x dan x=5 (x2=25).
b). „Kvadratlar songa teng” — ax2=c.
Masalan, ”agar sen aytsangki, kvadrat to`qqizga teng, u vaqtda to`qqiz — kvadrat va uning ildizi uch bo`ladi" deb yozadi Xorazmiy. Ya’ni x2 = 9, x = 3.
c). «Kvadratlar va ildizlar songa teng» — ax2+bx=c.
Masalan, x2+10x=39 ni yechish uchun Xorazmiy shunday qoida beradi: «Agar sen aytsangki, kvadrat va uning o`nta ildizlari 39 dirhamga teng, u vaqtda buning mahnosi shuki, agar biror kvadratga uning ildizlarining o`n baravari qo`shilsa, o`ttiz to`qqiz hosil bo`ladi». Uning qoidasi shunday: ildizlar sonini ikkiga bo`l, bu masalada besh bo`ladi, uni o`z-o`ziga ko`paytir, yigirma besh bo`ladi. Buni o`ttiz to`qqizga qo`shsang, oltmish to`rt bo`ladi. Bundan ildiz chiqar, sakkiz bo`ladi va undan ildizlar sonining yarmini, ya’ni beshni ayir, uch qoladi, mana shu sen izlagan kvadratning ildizi bo`ladi, kvadrat esa to`qqiz bo`ladi.
„Agar, —deb yozadi Xorazmiy, — kvadrat bitta bo`lmasdan, ikkita, uchta va umuman ko`p sonda bo`lsa, bitta kvadratga keltirish kerak". Boshqacha aytganda, noma’lumning yuqori darajasi oldidagi koeffitsientni birga aylantirish kerak. Buning uchun tenglamaning har ikki tomonini kvadratning koef-fitsientiga bo`lib, hosil bo`lgan tenglamani yuqorida bayon etilgan qoida bo`yicha yechish kerak. Masalan, 2x2+10x=48 tenglamani avval x2+5x=24 shakliga, tenglamani ham avval x2+10x=56 shakliga keltirib, so`ngra yuqorida bayon etilgan qoida bo`yicha yechish kerak.
Shundan so`ng Xorazmiy ax2+bx=c shaklidagi kvadrat tenglamani yechish uchun yuqorida berilgan qoidani geometrik usul bilan isbotlaydi.
Shunday qilib, hozirgi belgilashlarga asosan x2+bx+c=0 shaklida yoziladigan kvadrat tenglamaning ildizlarini topish formulasi: birinchi marta Xorazmiy asarlarida uchraydi. Bunda u bo`lgan holda, masalaning yechilishi mumkin emas deb yozadi.
d). «Kvadratlar va son ildizlarga teng» —x2+c=bx.
Masalan, x2+21x=10x ni yechish uchun Xorazmiy shunday yozadi: «agar sen aytsangki, kvadrat va yigirma bir dirham o`nta ildizlarga teng, u vaqtda buning ma’nosi shuki, agar kvadratga yigirma bir dirham qo`shilsa, o`nta ildiz hosil bo`ladi».
So`ngra quyidagi qoidani bayon etadi, «Ildizlar sonini ikkiga bo`l, 5 chiqadi, uni o`z-o`ziga ko`paytir, 26 bo`ladi, bundan 21 ni ayir, 4 qoladi. Bundan ildiz chiqar, ikki bo`ladi. Buni ildizlar sonining yarmidan, ya’ni 5 dan ayir, 3 qoladi. Mana shu sen izlagan kvadratning ildizi bo`ladi.
Agar bu ildizni ildizlar sonining yarmiga qo`shsang, 7 bo`ladi, bu ham Sen izlagan kvadrat (tenglama) ning ildizi bo`ladi, kvadratning o`zi esa 49 bo`ladi».
Hozirgi belgilashlarga asosan bu jumlalar ma’nosini formula bilan ifodalash mumkin. „Qachonki Sen shu holga to`g`ri keladigan misol uchratsang, avval uni yechishni qo`shish bilan sinab ko`r va bu ish maqsadga olib kelmasa, u vaqtda ayirish albatta maqsadga olib keladi, chunki bu holda ham qo`shish va ham ayirishni tatbiq etish mumkin".
Xorazmiy, agar tenglamadagi x2 oldida koeffitsient bo`lsa, avval tenglamaning hadlarini shu koeffitsientga bo`lib, so`ngra aytilgan qoida bo`yicha tenglamani yechish mumkinligini qayd etadi.
Shunday qilib, x2+c=bx umumiy shakldagi tenglamani yechish uchun Xorazmiyning qoidasini ko`rinishda ifodalash mumkin.
Xorazmiy shuni tahkidlaydiki, agar bu holda bo`lsa, masalani yechish mumkin emas, agar bo`lsa, kvadratning ildizi ildizlar sonining yarmiga, ya’ni ga teng bo`ladi va bo`lsa, ikkita musbat ildiz hosil bo`lishi mumkin.
e). «Ildizlar va son kvadratlarga teng» — bx+c=ax2.
Masalan, 3x+4=x2 bo`lgan holda yechish uchun Xorazmiy shunday qoida beradi: «Ildizlar sonini ikkiga bo`l, bir yarim bo`ladi, buni o`z-o`ziga ko`paytir, ikki va chorak bo`ladi. Uni 4 ga qo`shsang olti-yu chorak bo`ladi. Bundan ildiz chiqar, ikki yarim bo`ladi, buni ildizlar sonining yarmiga, ya’ni bir yarimga qo`sh, 4 bo`ladi. Mana shu kvadrat (tenglama) ning ildizidir, kvadratning o`zi esa 16 bo`ladi».
Agar tenglamada kvadratlar soni birdan ortiq bo`lsa yoki birdan kam bo`lsa, bu hollarni Xorazmiy «bitta kvadrat holiga keltirib» yuqoridagi qoida bo`yicha yechish kerak deb yozadi.
Hozirgi belgilashlarga asosan bu qoidani ko`rinishda ifodalash mumkin.
Xorazmiy, ax2+bx+c=0 umumiy ko`rinishdagi kvadrat tenglamalarni yechish ustida maxsus to`xtalmagan. Lekin u ax2+bx+c=0 ko`rinishdagi tenglama uchun keltirilgan qoidasini umumlashtirsak, quyidagini aytish mumkin. U bunday tenglamalarda avval ax2+bx+c=0 ning bosh koeffitsientini birga keltiradi, ya’ni uni keltirilgan kvadrat tenglama shaklida yozadi.
Keltirilgan kvadrat tenglama esa uning bayon etgan qoidalarining biri bo`yicha yechilishi mumkinligini yozadi. Ya’ni Xorazmiy ax2+bx+c=0 yoki tenglama ildizlarini topish uchun: yoki formula bilan ifodalanuvchi qoida beradi va so`ngra bu qoidaning geometrik isbotini ko`rsatadi.
Shunday qilib, keltirilgan kvadrat tenglama ildizlari formulasi al-Xorazmiyga tegishli ekanligi shubhasiz.
Do'stlaringiz bilan baham: |
