Mavzu: Irratsional va trassendent sonlar. Reja: Irratsional sonlar tarixi

2-misol.        ifodaning maxrajini irratsionallikdan qutqaring.

Yechish.  Bizga ma’lumki     va      formulaga asosan      deb, quyidagiga ega bo’lamiz:

   

Irratsional sonlarning xossalari

-Barcha mantiqsiz sonlar to'plami I harfi bilan, ba'zan esa Q * yoki Q bilan belgilanadi^C. I yoki Q * irratsional sonlari va Q ratsional sonlari o'rtasidagi birlashma R haqiqiy sonlar to'plamini keltirib chiqaradi.

-Ratsional sonlar bilan ma'lum arifmetik amallar bajarilishi mumkin: qo'shish, ayirish, ko'paytirish, bo'lish, kuchaytirish va boshqalar.

- 0 ga bo'linish irratsional sonlar orasida ham aniqlanmagan.

-Ratsional sonlar orasidagi yig'indisi va hosilasi boshqa irratsional son emas. Masalan:

-2 x -8 = -16 = 4

Va 4 irratsional son emas.

-Ammo, ratsional sonning ortiqcha irratsional sonning yig'indisi mantiqsiz songa olib keladi. Shu tarzda, shu ravishda, shunday qilib:

1 + √2 = 2.41421356237…

-Ratsional sonning 0dan irratsional son bilan farqli hosilasi ham irratsionaldir. Keling, ushbu misolni ko'rib chiqaylik:

2 x -2 = 2.828427125…

-Irratsionalning teskarisi boshqa irratsional sonni keltirib chiqaradi. Keling, bir oz harakat qilib ko'raylik:

1 / √2 = 0.707106781…

1 / √3 = 0.577350269…

Bu raqamlar qiziq, chunki ular ma'lum burchaklarning ba'zi trigonometrik nisbatlarining qiymatlari hamdir. Trigonometrik nisbatlarning aksariyati irratsional sonlardir, ammo istisnolar mavjud, masalan, sin 30º = 0.5 = ½, bu oqilona.

- yig'indida komutativ va assotsiativ xususiyatlar bajariladi. Agar a va b ikkita mantiqsiz raqam bo'lsa, demak:

a + b = b + a.

Agar $ c $ yana bir irratsional son bo'lsa, unda:

(a + b) + c = a + (b + c).

-Ko'paytirishga nisbatan ko'paytmaning taqsimlovchi xususiyati yana bir taniqli xususiyat bo'lib, u irratsional sonlar uchun ham to'g'ri keladi. Ushbu holatda:

a. (b + c) = a.b + a.c.

-Aqlsiz a ning aksi bor: -a. Ular qo'shilganda natija 0 ga teng:

a + (- a) = 0

-Ikki xil ratsional orasida kamida bitta irratsional son mavjud.