|
1-Mavzu: Bo‘linish belgilari. Sonlarning umumiy bo‘luvchisi va karralisi.
Mavzu rejasi: Butun sonlar halqasida bo‘linish munosabati va uning xossalari. Qoldiqli bo‘lish haqidagi teorema. Evklid algoritmi. Natural sonlarning eng katta umumiy bo‘luvchisi. Xossalari. Natural sonlarning eng kichik umumiy karralisi va uning xossalari.
Ta’rif. Faqat ikkita turli natural bo`luvchilarga ega bo`lgan natural son tub son deyiladi.
Ta’rif. Natural bo`luvchilarining soni ikkitadan ortiq bo`lgan natural son murakkab son deyiladi.
1 soni tub son ham emas, murakkab son ham emas. Chunki, 1 soni tub va murakkab sonlar ta’riflarini qanoatlantirmaydi.
Tub va murakkab sonlar quyidagi ba’zi bir xossalarga ega:
1o. a>1 murakkab sonning 1 dan boshqa eng kichik natural bo`luvchisi r bo`lsa, u holda r son tub son bo`ladi.
2o. Har qanday natural a va r tub sonlari yoki o`zaro tub, yoki a son r ga bo`linadi.
3o. Agar ab ko`paytma biror r tub songa bo`linsa, u holda ko`paytuvchilardan kamida bittasi r ga bo`linadi.
4o. Agar ko`paytma r tub songa bo`linib, uning barcha ko`paytuvchilari tub sonlardan iborat bo`lsa, u holda bu ko`paytuvchilardan biri r ga teng bo`ladi.
Teorema. 1 dan boshqa ixtiyoriy natural son yoki tub son yoki tub sonlar ko`paytmasi shaklida yoziladi, agar bu ko`paytmada ko`paytuvchilarning o`rni e’tiborga olinmasa, u holda bu ko`paytma yagona bo`ladi.
Faraz qilaylik (1) yoyilmada r1 son 1 marta, r2 son 2 marta va hakozo rn son n marta uchrasin. Bunday holda (1) ni
(r1
i1-natural son, i= ) (6)
ko`rinishda yozamiz. (6) tenglik a sonning kanonik yoyilmasi deyiladi.
Misol. 500=22 53, 23716=22 72 112 kanonik yoyilma. Lekin 1125=203253 kanonik yoyilma emas.
Ta’rif. Agar a va v 0 butun sonlar uchun a=bq munosabatni qanoatlantiruvchi q butun son mavjud bo`lsa, u holda a son b songa bo`linadi yoki b son a sonni bo`ladi deyiladi.
Agar a son b songa bo`linsa, u holda uni a b yoki a/b ko`rinishlarda belgilanadi. a=bq tenglikda a bo`linuvchi, b bo`luvchi, q bo`linma deyiladi.
Teorema. Agar a0 va b0 bo`lib, a=bq tenglikni qanoatlantiruvchi q son mavjud bo`lsa, u yagona bo`ladi.
Bo`linish munosabati quyidagi xossalarga ega:
10. ( a Z, a 0) 0 a;
20. ( a Z, a 0) a a;
30. ( a Z ) a 1;
40. ( a,b,s Z, b 0,s 0 ) ((a b) (b c)) => (a s);
50. ( a,b Z, a 0, b 0 ) ((a b)(b a))=> (b= a);
60. ( a,b,s Z, s 0) a s => ab c;
70. ( a,b Z, s 0 ) ((a s) (b s)) => (a b) s;
80. ( a,bi Z, a 0, i= ) (( b1 a) (b2 a) ... (bn a))=> (b1s1 b2s2... bncn) a (siZ, i= ).
Ta’rif. Aniqlanish sohasi yoki qiymatlar sohasi yoki har ikkisi ham butun sonlar to`plami bo`lgan funktsiyaga sonli funktsiya deyiladi.
Teorema.
n= (5)
sonning bo`luvchisi d bo`lishi uchun d sonning kanonik yoyilmasi
d= (6)
bo`lib, bunda
iI (i= ) (7)
bo`lishi zarur va yetarli.
Teorema. son uchun (n)=(1+1)(2+1)... (k+1) bo`ladi.
Isboti. n sonning bo`luvchisi d bo`lsa, u holda yuqoridagi teoremaga ko`ra bo`ladi. d songa 1,2,..., k nuqtalarni mos qo`yamiz, ya’ni d (1,2,..., k) bo`ladi.
I=0,1,2,...,I, ya’ni I ning qiymatlar soni (I+1)bo`ladi.
1 ning qiymatlar soni 1+1 ta, 2 ning qiymatlar soni 2+1 ta va hakozo k ning qiymatlari soni k+1 ta bo`ladi. U holda yuqoridagi lemmaga ko`ra 1,2,...,k nuqtalar soni (1+1)(2+1)... (k+1) ga teng bo`ladi. 1,2,...,k nuqtalarga d son mos qo`yilganligi va d son n ning bo`luvchisi bo`lganligidan (1+1)(2+1)...(k+1) ko`paytma n sonning barcha natural bo`luvchilari soni bo`ladi. Demak, (1+1)(2+1)... (k+1)=( n) ekan.
Teorema. bo`lsa, u holda bo`ladi.
Isboti. Ushbu
ifodani olaylik.
Bu ifodada qavslarni ochganda har bir qo`sxiluvchi ko`rinishidagi ifoda bo`lib, ii,(i= ) bo`ladi. Demak, A ning yoyilmasidagi har bir qusxiluvchi n ning bo`luvchisidan iborat bo`ladi. U holda A ifoda n ning barcha bo`luvchilarining yig`indisiga teng bo`ladi,ya’ni (n)=A bo`ladi.
ekanligidan
kelib chiqadi.
(n) va (n) funktsiyalari sonli funktsiyalar bo`ladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
