birinchisi ikki o’zgaruvchili funksiya gradiyentini hisoblashga bag’ishlangan bo’lib, uning
amalga oshirilishi 3.22 – rasmda keltirilgan. Misol sifatida rasmning birinchi qatorida
funksiyaning xususiy hosilalari orqali aniqlangan va uning argumentlarining vektor
qismlarida funksiya grafigining satx chizig’ini va uning grafigining vektor maydonining
grafigini tayyorlash uchun zarur bo’lgan o’zgartirilgan o’zgaruvchi va matritsalar beriladi (3.24 -
3.23 – rasm. Ikki o’zgaruvchining modelli funksiyasi.
3.24 – rasm. Ikki o’zgaruvchili funksiya gradiyentining vektorli maydoni.
3.23 va 3.24 – rasmlardagi grafiklarni taqqoslab, gradiyentning matematik ma’nosi har bir
)
,
(
y
x
nuqtada
)
,
(
y
x
f
funksiya tezroq o’suvchi tekislikdagi yo’nalishning berilishidan iborat
ekanligini ko’rish mumkin. Gradiyentning absolyut qiymati (ya’ni vektorning har bir nuqtada
uzunligi)
)
,
(
y
x
f
funksiyaning o’zgarishining lokal tezligini aniqlaydi. Grafiklarni
taqqoslashdan, ularda ko’rsatilgan
)
,
(
y
x
soha markazida
)
,
(
y
x
f
funksiya sekin o’zgaradi
(gradiyent qiymati minimal), burchaklarida esa tez o’zgaradi (u yerda gradiyent qiymatlari
maksimal).
Gradiyent skalyar funksiya emas, balki
y
x,
o’zgaruvchilarning vektorli funksiyasi ekanligini
ta’kidlash juda muhimdir, chunki u aslida vektorning har bir qiymatidagi (gorizantal va vertikal)
proyeksiyalarini aks etuvchi ikki funksiya kombinatsiyasidan iboratdir. Shu vaqtgacha skalyar
funksiyalarni differensiallashni qaragan edik, lekin matematikada ko’pincha vektorli
funksiyalarning hosilasini hisoblashga ham duch kelish mumkin.
Ushbu amallarni vektorli maydon, ya’ni (bizning misolimizdagidek tekislikda yoki uch o’lchovli
fazoda) fazoviy koordinatalarga bog’liq vektor funksiyaga qo’llash mumkin bo’lgan
divergensiyani topish operasiyasi misolida ko’rib chiqamiz (3.25 - rasm).
3.25 – rasm. Vektorli funksiya divergensiyasini hisoblash.
Agar, matematikada qabul qilinganidek, gradiyentni olish operatori V orqali belgilansa, vektor-
funksiya divergensiyasini rasman
Vf
skalyar ko’paytma sifatida, xuddi shuningdek, vektorli
tahlilning yana bir keng tarqalgan operasiyasi – rotorni (yoki boshqacha aytganda quyun yoki
quyunlik)
f
V
vektor ko’paytma sifatida aniqlash mumkin. 3.26 – rasmda
)
,
(
y
x
f
vektor-
funksiya misoli va uning divergensiyasini hisoblash (rasmning uchinchi qatorida analitik
bajariluvchi) tasvirlangan. Dastlabki vektor-funksiya sifatida 3.24 – rasmda ko’rsatilgan oxirgi
hisoblashlar natijasi olingan. 3.26 – rasmning yuqori qismidagi kodlar qatorlari hisoblangan
divergensiya grafigini uch o’lchovli fazo va mos ravishda yuqoridan va quyidan satx chizig’i
kabi tayyorlash uchun kerak.
3.27 – rasmdagi
)
,
(
y
x
f
vektor-funksiya rotorini hisoblash ham xuddi shu tuzilishga ega,
shu bilan birga (3.25 – rasmning divergensiyasi kabi) rotorni olish amalining ta’rifi uning
ikkinchi qatorida keltirilgan.
Vektorli tahlil bilan tanishgan o’quvchiga nima uchun qaralgan misolda (3.22, 3.25, 3.27
- rasmlar) rotor aynan nolga teng bo’lishini tushinib yetishni taklif etish mumkin (3.27 –
rasmning oxirgi qatori).
3.26 – rasm. Vektor-funksiya divergensiyasi grafigi.
3.27 – rasm. Vektor-funksiyaning rotorini hisoblash.
3.29 – rasm. Uch o’lchovli fazodagi divergensiya va rotor.
Do'stlaringiz bilan baham: