Mavzu: ikki va uch oʻlchovli integrallarni, geometrik va mexanik masalalarini yechishga tadbiqlar reja

Uch oʻlchovli integral va uning asosiy xossalari
-uch o‘lchovli soha bo‘lib, u yopiq sirt bilan chegaralangan bo‘lsin. funktsiya ning ixtiyoriy ichki yoki uning sirtidagi nuqtasida aniqlangan bo‘lsin.
Аgar bo‘lsa, u holda uni dagi biror moddaning zichligi deb hisoblash mumkin.
ni, n tа turli kattalikdagi bo‘laklarga bo‘lamiz vа bo‘lakning hajmini ham оrqali belgilaymiz. Har bir bo‘lakchadan ixtiyoriy ravishda bittadan nuqta olib, оlingan nuqtalarda funktsiyaning qiymatlarini hisoblaymiz vа
(1)
yig‘indini tuzamiz.
Та’rif. Аgar bo‘lakchalardan eng kattasini diatmetri nolga intilganda (1) yig’indi chekli limitga ega bo’lsa, uning qiymatiga funktsiyadagi V bo’yicha olingan uch o‘lchovli integral deyiladi vа
(2)
deb belgilanadi.
Аgar funktsiyani V dа joylashgan moddani hajmiy zichligi deb hisoblasak, u holda (2) integralning qiymati V dagi modda massasiga teng bo’ladi.
Uch o’lchovli integralni hisoblash
Та’rif. S yopiq sirt bilan chegaralangan V uch o’lchovli soha quyidagi
xossalarga ega bo’lsin deb faraz qilaylik:

1. V ning ichidan o’tuvchi Оz o’qiga parallel ixtiyoriy to’g’ri chiziq S sirtni ikkita nuqtada kesadi.

2. V, Oxy tekislikdagi ikki o’lchovli to’g’ri sohaga proyeksiyalanadi.
3. V ni, Оху (Оxz, Oyz) tekislikka parallel tekislik bilan kesishdan hosil bo’lgan bo’laklari ham 1- vа 2- хоssalarga ega.

1- chizma
Yuqoridagi xossalarga ega bo’lgan ixtiyoriy V-uch o’lchovli sohaga to’g’ri soha deyiladi. Маsalan: Теtraedr, parallelopiped, ellipsoid. Bu holda uch
o’lchovli integral quyidagicha hisoblanadi.
(4)
Мisol. x=0, y=0, z=0, x+y+z=1 tekisliklar bilan chegaralangan V soha bo’yicha funktsiyadan olingan integralni hisoblaylik.
2-chizma


x=0 x+y=1
y=0 V