3-amaliy mashg’uloti mavzu: Qadimgi yunonlarda uch asosiy masalaning hal qilinishi. Cheksizlik tushunchasini kiritilishi Demokrit. Limitlar nazariyasining antik formasi

---

3-AMALIY MASHG’ULOTI 

Mavzu: Qadimgi yunonlarda uch asosiy masalaning hal qilinishi. 

Cheksizlik tushunchasini kiritilishi Demokrit. Limitlar nazariyasining antik 

formasi. 

Reja: 

1. 

Kubni ikkilantirish masalasi. 

2. 

Burchakni uchga bo‘lish masalasi 

3. 

Doirani kvadratlash masalasi 

4. 

Muammolarni bundan keyingi hal qilinishi. 

 

1. 

Irratsional  sonlarni  kashf  etilishi  matematikaning  nazariy  asoslarini 

yaratish uchun asosiy sabablardan biri bo‘ladi. CHunui hali mustahkam asosga ega 

bo‘lmagan  grek  matematikasi  irratsionallik  tufayli  sonlar  nazariyasi  va 

geometriyada  katta  qiyinchiliklarga  duch  keldi.  CHunki  buning  natijasida  metrik 

geometriya va o‘xshashlik kabi nazariyalarni tushuntirish qiyin bo‘lib qoldi. Kashf 

qilingan faktni mohiyatini ilmiy asosda tushunish va uni tarkib topgan tasavvurlar 

bilan  muvofiqlashtirish  matematikanibundan  buyongi  rivojlanishi  uchun  katta 

turtki bo‘ldi. Ratsional sonlar bilan bir qatorda irratsional sonlar uchun hamyaroqli 

bo‘lgan  matematik  nazariyani  yaratishga  bo‘lgan  urinish    natijasida  geometrik 

algebra  nomi  bilan  yangi  yo‘nalish  yaratildi.  Ammo  geometrik  algebraning 

kamchiligi  shundan  iborat  bo‘lib  qoldiki,  chiz²ich  va  sirkul  yordamida  yechish 

mumkin bo‘lmagan masalalar ham etarlicha ekan. Bunday masalalar turkumiga: 

1) 

kubni ikkilantirish; 

2) 

Burchakni teng uchga bo‘lish; 

3) 

Doirani kvadratlash va boshqalar. 

 

1. 

Kubni ikkilantirish, ya’ni hajmi berilgan kub hajmidan ikki marta 

katta bo‘lgan kubni yasash. Berilgan kubqirrasi a ga teng bo‘lsin, u holda yangi 

kub qirrasini x desak, masala x

3

=2a

3

 tenglamani yechishga, yoki 

3

2

 kesmani 

yasashga keladi. Quyida Xioslik Gippokrat (e.o. V asr o‘rtasi) tomonidan tavsiya 

etilgan usul bilan tanishaylik. U masalani umumiyroq qilib qo‘yadi, ya’ni 

parallelopipeddan kub hosil qilish. Buni u ikkita o‘rta proporsionalni topish 

masalasiga olib keladi. 

Bizga  V=a,b,c  parallelopiped  berilgan  bo‘lsin.  Uni  asosi  kvadrat  bo‘lgan 

yangi  parallelopipedga  V=a

2

b  ga  keltirilgan  bo‘lsin.  Endi  buni  x

3

=a

2

b  kubga 

o‘tkazamiz. Izlangan kubning qirrasi ²ippokratga ko‘ra a:x=x:y=y:b proporsiyadan 

aniqlangan. Buning uchun x

2

=au, xu=ab va u

2

=bx ko‘rinishdagi geometrik o‘rinlar 

tekshirilgan va  ular  (a  va  b  lar) shu geometrik o‘rinlarning  kesishish nuqtasining 

koordinatalarini o‘rta proporsianalini topish ko‘rinishida hal qilgan. Bu esa konus 

kesimlariko‘rinishida hal bo‘ladigan masaladir. 

---

Boshqa  ko‘rinishda  Eratosfen  kubni  taqriban  ikkilantiradigan  qurilma 

(mezolabiy) yasagan. 

Muammoning  bundan  keyingi  taqdiri  haqida  1637  yilda  Dekart  bu  masalani 

yechish  mumkinligiga  shubha bildiradi.  1837  yilda  Vanhel bu masalani uzil-kesil 

hal  qiladi,  ya’ni  kubik  irratsional  sonlar  ratsional  sonlar  to‘plamiga  ham  va  uni 

kvadrat  irratsionallik  bilan  kengaytirilgan  to‘plamiga  ham  tegishli  emasligini 

isbotlaydi. Demak, masalani chiz²ich va sirkul yordamida hal qilib bo‘lmas ekan 

2. burchakni uchga bo‘lish. 

Antik  davrning  ikkinchi  mashxur  masalasi  bu  ixtiyoriy  burchakni  geometrik 

algebra usullari bilan teng uchga bo‘lishdir. Bu masala ham oldingisi kabi uchinchi 

darajali  tenglamani  yechishga  keltiriladi,  ya’ni  a=4x

3

-3x  yoki  trigonometrik 

ko‘rinishda cos



=4cos

3

(



/3)-3cos(



/3)/ 

3. uchinchi  masala  yuzi  kvadrat  yuziga  teng  bo‘lgan  doirani 

topish.  Doiraning  yuzi 



  r

2

,  kvadrat  yuzi  x

2

.  U  holda 



r

2

=x

2

  , 

x

r





 

bo‘lib, 



 ning arifmetik tabiati ochilmaguncha bu muammo ham echim 

kutib  turdi.  Faqat  XVIII  asrga  kelib  I.  Lombert  va  A.  Lejandrlar 



 

ratsional  son  emasligini  isbotladilar.  1882  yilda  Lindemon 



  ni 

transendent  son  ekanligini,  ya’ni  u  hech  qanday  butun  koeffitsentli 

algebraik tenglamaning ildizi bo‘la olmasligini isbotladi. 

Albatta  antik  matematiklar  bularni  bilmaganlar.  Ular  muammoni  hal  qilish 

davomida  ko‘plab  yangi  faktlarni  va  metodlarni  kashf  qildilarki,  shubhasiz  bular 

matematikani rivojlantirish uchun katta hissa qo‘shdi. Ba’zi xususiy hollar  uchun 

muammoni hal qilishga erishdilar. 

 

Tekshirish savollari: 

1. 

Kubni ikkilantirishini izohlang. 

2. 

Burchakni uchga bo‘lishini izohlang. 

3. 

Doirani kvadratlash haqida nimalar bilasiz? 

4. 

Muammolarni  bundan  keyingi  hal  qilinishi  haqida  nimalar 

bilasiz?