Mavzu. Funksiya limiti reja: To‘plamning limit nuqtasi. Funksiya limiti ta’riflari va ekvivalentligi

3. Limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalari.

Chekli limitga ega bo‘lgan funksiyalar ham yaqinlashuvchi ketma-ketlik singari qator xossalarga ega.

Faraz qilaylik, funksiya to‘plamda berilgan bo‘lib, nuqta ning limit nuqtasi bo‘lsin.

1-xossa. Agar  da funksiya limitga ega bo‘lsa, u yagona bo‘ladi.

 Bu xossaning isboti limit ta’riflarining ekvivalentligi hamda ketma-ketlik limitining yagonaligidan kelib chiqadi.

2-xossa. Agar

, ( – chekli son)

bo‘lsa, u holda nuqtaning shunday atrofi topiladiki, bu atrofda funksiya chegaralangan bo‘ladi.

Aytaylik,

bo‘lsin. Funksiya limiti ta’rifga binoan

da

ya’ni bo‘ladi. Keyingi tengsizliklardan funksiyaning nuqtaning atrofida chegaralanganligi kelib chiqadi.

3-xossa.  Agar

bo‘lib, bo‘lsa, u holda nuqtaning shunday atrofi topiladiki, bu atrofda

bo‘ladi.

 Shartga ko‘ra

.

Funksiyaning limiti ta’rifiga ko‘ra uchun shunday son topiladiki, , , uchun

bo‘ladi. Bu esa da bo‘lishini bildiradi.

Faraz qilaylik, va funksiyalar to‘plamda berilgan bo‘lib, nuqta to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin.

4-xossa.  Agar

,

bo‘lib, da tengsizlik bajarilsa, u holda , ya’ni

bo‘ladi.

 Aytaylik,

,

bo‘lsin.

Funksiya limitining Geyne ta’rifiga ko‘ra ga intiluvchi ixtiyoriy

ketma-ketlik uchun

da ,

(1)

bo‘ladi.

Ravshanki, da

(2)

Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning xossalaridan foydalanib, (1) va (2) munosabatlardan , ya’ni bo‘lishini topamiz. ►

5-xossa.  Faraz qilaylik,

,

limitlar mavjud bo‘lsin. U holda

a) da ;

b)

v)

g) Agar bo‘lsa, ;

bo‘ladi.

Bu tasdiqlarning isboti sonlar ketma-ketliklari ustida arifmetik amallar bajarilishi haqidagi ma’lumotlardan kelib chiqadi.