ko’rinishdagi tenglamaga Bernulli differensial tenglamasi deyiladi. Bu yerda , ya’ni intervalda aniqlangan uzluksiz funksiyalar.
Agar bo’lsa, u holda
chiziqli differensial tenglama hosil bo’ladi.
Agar bo’lsa, u holda
bir jinsli chiziqli differensial tenglama hosil bo’ladi.
Aytaylik, bo’lsin. Ko’rinib turibdiki, (1) differensial tenglamaning yechimidan iborat. Agar bo’lsa, u holda (1) tenglamaning ikki tomonini ga bo’lib ushbu
(2)
differensial tenglamani hosilnqilamiz. Bunda
(3)
almashtirishni bajaramiz. Quyidagi
munosabatlardan foydalanib (2) tenglamani ushbu
ya’ni
(4)
ko’rinishda yozish mumkin. Bu esa chiziqli bir jinsli bo’lmagan differensial tenglamadir.
8-§. Rikkati differensial tenglamasi.
Ushbu
(1)
ko`rinishdagi tenglamaga Rikkati differensial tenglamasideyiladi. Bu yerda bo’lib, .
Agar bo’lsa, u holda (1) differensial tenglama ushbu
ko’rinishni oladi. Bu esa chiziqli bir jinsli bo’lmagan differensial tenglamadir.
Agar bo’lsa, u holda (1) differensial tenglama
ko’rinishni oladi. Bu esa Bernulli differensial tenglamasidir.
Umumiy holda Rikkati differensial tenglamasi kvadraturada integrallanmaydi.
Shuni alohida qayd qilish lozimki, ayrim xususiy hollardagina Rikkati differensial tenglamasini kvadraturada integrallanishini ko’rsatish mumkin. Jumladan 1841 yilda Liuvill ushbu
ko’rinishdagi Rikkati differensial tenglamasi kvadraturada integrallanuvchi bo’lishi uchun soni butun bo’lishi kerakligini ko’rsatib berdi. Ammo Rikkati differensial tenglamasining ayrim xossalarini o’rganishimiz mumkin.
Lemma-1.Rikkati tenglamasi quydagi:
1.
2. Kasr-chizqli
amashtirishlarga nisbatan ko’rinishini o’zgartirmaydi.
Isbot. 1. Ushbu tenglikning ikki tomonini differensiallab
,
munosabatlarni topamiz. Bu tengliklarni (1) differenasial tenglamaga qo’yib
(2)
differensial tenglamani hosil qilamiz. Bunda ushbu
belgilashlardan foydalansak (2) tenglama
ko’rinishni oladi. Bu esa Rikkati differensial tenglamasidir.
2. Berilgan kasr-chiziqli almashtirishning ikki tomonini differensiallab
(3)
differensial tenglamani topamiz. Berilgan kasr-chiziqli almashtirish natijasida ushbu
kvadrat uchhadning o’zgarishini aniqlaymiz:
. (4)
Yuqoridagi (1) differensial tenglamadan va (3) hamda (4) munosabatlardan foydalanib quyidagi
tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglik elementar amallar natijasida ushbu
ko’rinishni oladi. Bundan
kelib chiqadi. Bu esa Rikkati differensial tenglamasidir. ■