Mavzu: Chiziqli tеnglamalar sistеmasi

Misol-1. Ushbu

Koshi masalasining yechimini toping.
Yechish. Berilgan differensial tenglamada o’zgaruvchilarni ajratib quyidagi

yechimni topamiz. Boshlang’ich shartdan foydalanib,

berilgan Koshi masalasining

yechimini topamiz. Bundan tashqari, qaralayotgan Koshi masalasi yechimga ega. Demak, berilgan Koshi masalasi ikkita

yechimga ega ekan. Bundan ko’rinadiki, berilgan differensial tenglamaning o’ng tomonidagi

funksiya (3) - Lipshits shartini qanoatlantirmaydi. Chunki

Shuning uchun ham berilgan Koshi masalasining yechimi yagona emas.
Misol-2. Ushbu

Koshi masalasining yechimini toping.
Yechish. Berilgan differensial tenglamada o’zgaruvchilarni ajratib, uning umumiy yechimini topamiz:

Endi boshlang’ich shartdan foydalanib o’zgarmasning qiymatini topamiz:
,
.
Ushbu

funksiya berilgan Koshi masalasining yechimidan iborat bo’lar ekan. Bundan tashqari funksiya ham berilgan Koshi masalasining yechimi bo’ladi. Demak, berilgan Koshi masalasi ikkita yechimga ega ekan. Chunki, funksiya nuqtaning atrofida Lipshits shartini qanoatlantirmaydi. Shuning uchun yechimning yagonaligi buziladi.

Quyidagi misolga e’tibor qarataylik.
Misol-3. Ushbu

Koshi masalasining yechimini toping.
Yechish. Bu misolda ham, berilgan differensial tenglamada o’zgaruvchilarni ajratib, uning umumiy yechimini topamiz:

Boshlang’ich shartdan foydalanib o’zgarmasning qiymatini aniqlaymiz:

Bundan ko’rinadiki, ushbu

funksiya berilgan Koshi masalasining yagona yechimidan iborat bo’ladi.
Shuni alohida qayd qilish lozimki, berilgan Koshi masalasidagi

funksiyalarning nuqtada uzluksizligi buziladi. Ammo, berilgan Koshi masalasi yagona yechimga ega. Demak, Koshi teoremasidagi shartlar Koshi masalasi yechimi mavjud va yagona bo’lishi uchun yetarli shartlardir. Koshi masalasi yechimining yagonaligidan unksiyaning uzluksizligi va o’zgaruvchi bo’yicha Lipshits shartini qanoatlantirishi kelib chiqmaydi.